РК1: пределы и непрерывность

Последовательность $x_n$ называется сходящейся, если она имеет конечный предел: $\exists a\in R:\ \lim_{n\to+\infty}x_n=a$.

$$\lim_{x\to a}f(x)=\infty\iff\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)|>M.$$
Пример: $f=\frac1{x-a}$, $\delta=\frac1M$.

Сумма конечного числа бесконечно малых функций при $x\to x_0$ есть бесконечно малая функция при $x\to x_0$.

1. Тип: числитель $\sqrt x\left(\sqrt2-\sqrt{1-\frac1x}\right)\to+\infty$ (коэффициенты $\sqrt2\ne1$, это не $\infty-\infty$ с сокращением), знаменатель $\to+\infty$ — $\frac\infty\infty$.
2. Делим на $\sqrt x$: $$\frac{\sqrt2-\sqrt{1-\frac1x}}{1-\frac3{\sqrt x}}\to\frac{\sqrt2-1}{1}.$$ Ответ: $\sqrt2-1$.

1. Тип: $\frac00$ (числитель $0\cdot0\cdot\frac\pi2$, знаменатель $0\cdot0$).
2. Множители: $\sqrt[3]{1-x^2}-1\sim\frac{-x^2}3$ ($u=-x^2$); $\arccos x\to\frac\pi2$ — не б.м., заменяем числом (ловушка); $2^x-1\sim x\ln2$; $\operatorname{arctg}x\sim x$. 3. $$\lim_{x\to0}\frac{x\cdot\left(-\frac{x^2}3\right)\cdot\frac\pi2}{x\ln2\cdot x}=\lim_{x\to0}\left(-\frac{\pi x}{6\ln2}\right)=0.$$ Ответ: $0$.

1. Тип: $1^\infty$.
2. $u-1=\arcsin^2x\sim x^2$; $v=\frac1{\ln(1+x^2)}\sim\frac1{x^2}$; $(u-1)v\to1$.
3. $\left[\left(1+\arcsin^2x\right)^{\frac1{\arcsin^2x}}\right]^{\frac{\arcsin^2x}{\ln(1+x^2)}}\to e^1$. Ответ: $e$.

а) $f\to1-1=0$, $g\to0\cdot0=0$ — обе б.м.
б) $f=2^x\left(\left(\frac e2\right)^x-1\right)$, $2^x\to1$, $\left(\frac e2\right)^x-1\sim x\ln\frac e2=x(1-\ln2)$ ⇒ $f\sim(1-\ln2)x$: главная часть $(1-\ln2)x$, $C=1-\ln2\approx0{,}307$, порядок $1$.
$g\sim x\cdot x=x^2$: главная часть $x^2$, порядок $2$.
в) $\frac gf\sim\frac{x}{1-\ln2}\to0$ ⇒ $g=o(f)$: $g$ — высшего порядка малости.

1. Подозрительные точки: $x=0$ (склейка); $x=\frac12$: $\ln(x+\frac12)=\ln1=0$ — знаменатель обращается в $0$ (ловушка). При $x\ge0$ аргумент логарифма $\ge\frac12>0$ — других проблем нет. Вне — непрерывна.
2. $x=0$: $f(0)=\frac0{\ln\frac12}=0$; $f(0-0)=e^{1/(0-)}=e^{-\infty}=0$; $f(0+0)=\frac0{\ln\frac12}=0$. Всё равно ⇒ непрерывна.
3. $x=\frac12$: числитель $\to\frac1{\sqrt2}>0$; $\ln(x+\frac12)\to0+$ при $x\to\frac12+$, $\to0-$ при $x\to\frac12-$ ⇒ $f(\frac12+0)=+\infty$, $f(\frac12-0)=-\infty$ ⇒ II рода.
4. График: около $0$ — слева ветвь $e^{1/x}>0$ очень полого подходит сверху к началу координат; справа на $(0;\frac12)$ $\ln(x+\frac12)<0$ ⇒ $f<0$: ветвь выходит из $(0;0)$ вниз (закрашенная точка в начале координат). Около $\frac12$ — пунктирная асимптота $x=\frac12$: слева ветвь уходит к $-\infty$, справа приходит с $+\infty$.

Ответ: единственная точка разрыва $x=\frac12$ — II рода; в $x=0$ функция непрерывна.