РК1›Тема 6. Предел последовательности, критерий Коши

6. Предел последовательности, критерий Коши

л. 1–2 · вопросы РК: A6, A7, A14, A15

Определения

Определение 1 (предел последовательности). Число aa называется пределом числовой последовательности xnx_n, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε\varepsilon найдётся такое достаточно большое натуральное число n(ε)n(\varepsilon), зависящее от ε\varepsilon, начиная с которого все элементы последовательности отличаются от aa по модулю меньше чем на ε\varepsilon:
lim⁡n→+∞xn=a   ⟺  def ∀ε>0  ∃n(ε)∈N  ∀n>n(ε) ⇒ ∣xn−a∣<ε.\lim_{n\to+\infty}x_n=a\ \overset{def}{\iff}\ \forall\varepsilon>0\ \ \exists n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \ \forall n>n(\varepsilon)\ \Rightarrow\ |x_n-a|<\varepsilon.

Начиная с номера n(ε)+1n(\varepsilon)+1 все члены последовательности попадают в ε\varepsilon-окрестность точки aa: xn∈Sε(a)x_n\in S_\varepsilon(a) ∀n>n(ε)\forall n>n(\varepsilon).

Геометрический смысл: какую бы малую окрестность точки aa мы ни взяли, ей будут принадлежать все элементы бесконечной последовательности, кроме, может быть, конечного их числа.

Определение 2. Последовательность xnx_n называется сходящейся, если она имеет конечный предел. Не имеющая конечного предела — расходящаяся [термин не из лекций].

Определение 6. Последовательность xnx_n называется фундаментальной, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε\varepsilon найдётся свой порядковый номер n(ε)n(\varepsilon) такой, что при всех n>n(ε)n>n(\varepsilon), m>n(ε)m>n(\varepsilon) выполнено неравенство ∣xn−xm∣<ε|x_n-x_m|<\varepsilon:
xn — фундаментальная   ⟺  def ∀ε>0  ∃n(ε)∈N: ∀n>n(ε)  ∀m>n(ε) ⇒ ∣xn−xm∣<ε.x_n\ \text{— фундаментальная}\ \overset{def}{\iff}\ \forall\varepsilon>0\ \ \exists n(\varepsilon)\in\mathbb N:\ \forall n>n(\varepsilon)\ \ \forall m>n(\varepsilon)\ \Rightarrow\ |x_n-x_m|<\varepsilon.

(Определения 3–5 — ограниченность — см. тему 5.)

Бесконечные пределы последовательности не из лекций

lim⁡n→+∞xn=+∞  ⟺  ∀M>0 ∃n(M)∈N ∀n>n(M)⇒xn>M,\lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty\iff\forall M>0\ \exists n(M)\in\mathbb N\ \forall n>n(M)\Rightarrow x_n>M,
lim⁡n→+∞xn=−∞  ⟺  ∀M>0 ∃n(M)∈N ∀n>n(M)⇒xn<−M,\lim_{n\to+\infty}x_n=-\infty\iff\forall M>0\ \exists n(M)\in\mathbb N\ \forall n>n(M)\Rightarrow x_n<-M,
lim⁡n→+∞xn=∞  ⟺  ∀M>0 ∃n(M)∈N ∀n>n(M)⇒∣xn∣>M.\lim_{n\to+\infty}x_n=\infty\iff\forall M>0\ \exists n(M)\in\mathbb N\ \forall n>n(M)\Rightarrow |x_n|>M.
Такие последовательности расходящиеся: конечного предела у них нет.

Отрицания (основное для задач) не из лекций

aa не является пределом xnx_n:
lim⁡n→+∞xn≠a  ⟺  ∃ε>0  ∀n(ε)∈N  ∃n>n(ε): ∣xn−a∣≥ε.\lim_{n\to+\infty}x_n\ne a\iff\exists\varepsilon>0\ \ \forall n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \ \exists n>n(\varepsilon):\ |x_n-a|\ge\varepsilon.

xnx_n расходится (никакое число не является пределом):
∀a∈R  ∃ε>0  ∀n(ε)∈N  ∃n>n(ε): ∣xn−a∣≥ε.\forall a\in R\ \ \exists\varepsilon>0\ \ \forall n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \ \exists n>n(\varepsilon):\ |x_n-a|\ge\varepsilon.

xnx_n не фундаментальная:
∃ε>0  ∀n(ε)∈N  ∃n>n(ε)  ∃m>n(ε): ∣xn−xm∣≥ε.\exists\varepsilon>0\ \ \forall n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \ \exists n>n(\varepsilon)\ \ \exists m>n(\varepsilon):\ |x_n-x_m|\ge\varepsilon.

Теоремы

Теорема (Критерий Коши существования предела последовательности). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была фундаментальной.

В кванторах:
∃lim⁡n→+∞xn=a∈R  ⟺  ∀ε>0 ∃n(ε)∈N: ∀n>n(ε) ∀m>n(ε)⇒∣xn−xm∣<ε.\exists\lim_{n\to+\infty}x_n=a\in R\iff\forall\varepsilon>0\ \exists n(\varepsilon)\in\mathbb N:\ \forall n>n(\varepsilon)\ \forall m>n(\varepsilon)\Rightarrow|x_n-x_m|<\varepsilon.

Отрицание критерия Коши не из лекций — условие расходимости:
xn расходится  ⟺  ∃ε>0  ∀n(ε)∈N  ∃n>n(ε)  ∃m>n(ε): ∣xn−xm∣≥ε.x_n\ \text{расходится}\iff\exists\varepsilon>0\ \ \forall n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \ \exists n>n(\varepsilon)\ \ \exists m>n(\varepsilon):\ |x_n-x_m|\ge\varepsilon.

В лекции теорема дана без доказательства.

Доказательство не из лекций и на что оно опирается

На что опирается:

ЧастьОпораЕсть в лекциях?
НеобходимостьОпределение предела, неравенство треугольника ∣u+v∣≤∣u∣+∣v∣\lvert u+v\rvert\le\lvert u\rvert+\lvert v\rvertДа (неравенство треугольника используется в л. 3–4, теорема единственности)
Достаточность, шаг 1Фундаментальная последовательность ограниченаНет, но доказывается элементарно, как теорема 2 л. 3–4
Достаточность, шаг 2Понятие подпоследовательностиНет
Достаточность, шаг 3Теорема Больцано–Вейерштрасса: из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательностьНет
— внутри шага 3Лемма о монотонной подпоследовательностиНет
— внутри шага 3Теорема Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательностиФормулировка есть (л. 3–4), доказательства нет; опирается на аксиому полноты — см. справочник «Полнота RR»
Достаточность, шаг 4Фундаментальная последовательность со сходящейся подпоследовательностью сходитсяНет

Вывод для РК: необходимость можно доказывать в рамках лекций. Достаточность в рамках прочитанного материала не доказывается: ссылаться на теорему Больцано–Вейерштрасса и подпоследовательности как на «пройденное» нельзя.

Необходимость (⇒\Rightarrow). Дано: lim⁡n→+∞xn=a\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=a. Возьмём произвольное ε>0\varepsilon>0 и применим определение предела к числу ε2\frac\varepsilon2:
∃n(ε)∈N ∀n>n(ε): ∣xn−a∣<ε2.\exists n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \forall n>n(\varepsilon):\ |x_n-a|<\tfrac\varepsilon2.
Тогда ∀n>n(ε), ∀m>n(ε)\forall n>n(\varepsilon),\ \forall m>n(\varepsilon):
∣xn−xm∣=∣(xn−a)−(xm−a)∣≤∣xn−a∣+∣xm−a∣<ε2+ε2=ε.|x_n-x_m|=|(x_n-a)-(x_m-a)|\le|x_n-a|+|x_m-a|<\tfrac\varepsilon2+\tfrac\varepsilon2=\varepsilon.
Последовательность фундаментальная.

Достаточность (⇐\Leftarrow). Дано: xnx_n фундаментальная.

Шаг 1. xnx_n ограничена. Возьмём ε=1\varepsilon=1: ∃N ∀n,m>N: ∣xn−xm∣<1\exists N\ \forall n,m>N:\ |x_n-x_m|<1. При m=N+1m=N+1 для всех n>Nn>N:
∣xn∣≤∣xn−xN+1∣+∣xN+1∣<1+∣xN+1∣.|x_n|\le|x_n-x_{N+1}|+|x_{N+1}|<1+|x_{N+1}|.
Положим M=max⁡{∣x1∣,…,∣xN∣, 1+∣xN+1∣}M=\max\{|x_1|,\dots,|x_N|,\ 1+|x_{N+1}|\}, тогда ∣xn∣≤M|x_n|\le M ∀n∈N\forall n\in\mathbb N.

Шаг 2. Подпоследовательность. Если n1<n2<⋯<nk<…n_1<n_2<\dots<n_k<\dots — возрастающая последовательность натуральных номеров, то {xnk}k=1∞\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty называется подпоследовательностью xnx_n. Индукцией: nk≥kn_k\ge k.

Шаг 3. Теорема Больцано–Вейерштрасса.

Лемма: из любой последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность. Назовём номер nn «пиком», если xn≥xkx_n\ge x_k для всех k>nk>n.

  • Пиков бесконечно много: n1<n2<…n_1<n_2<\dots — пики, тогда xn1≥xn2≥…x_{n_1}\ge x_{n_2}\ge\dots — невозрастающая подпоследовательность.
  • Пиков конечное число: пусть N0N_0 больше всех пиков, n1=N0+1n_1=N_0+1. Номер n1n_1 не пик ⇒∃n2>n1: xn2>xn1\Rightarrow\exists n_2>n_1:\ x_{n_2}>x_{n_1}; n2n_2 не пик ⇒∃n3>n2: xn3>xn2\Rightarrow\exists n_3>n_2:\ x_{n_3}>x_{n_2}; и так далее — возрастающая подпоследовательность.

По шагу 1 xnx_n ограничена, значит, ограничена и монотонная подпоследовательность из леммы. По теореме Вейерштрасса (л. 3–4) она сходится: lim⁡k→∞xnk=a\lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}=a.

Шаг 4. Вся последовательность сходится к aa. Возьмём ε>0\varepsilon>0.

  • Фундаментальность: ∃N ∀n,m>N: ∣xn−xm∣<ε2\exists N\ \forall n,m>N:\ |x_n-x_m|<\frac\varepsilon2.
  • Сходимость подпоследовательности: ∃K ∀k>K: ∣xnk−a∣<ε2\exists K\ \forall k>K:\ |x_{n_k}-a|<\frac\varepsilon2.

Выберем k>max⁡(K,N)k>\max(K,N); тогда nk≥k>Nn_k\ge k>N. Для всех n>Nn>N:
∣xn−a∣≤∣xn−xnk∣+∣xnk−a∣<ε2+ε2=ε.|x_n-a|\le|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\tfrac\varepsilon2+\tfrac\varepsilon2=\varepsilon.
Значит, lim⁡n→+∞xn=a\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=a. Теорема доказана.

Рабочие формулы

  • ∣xn−a∣<ε  ⟺  a−ε<xn<a+ε  ⟺  xn∈Sε(a)|x_n-a|<\varepsilon\iff a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon\iff x_n\in S_\varepsilon(a).
  • Неравенство треугольника: ∣u±v∣≤∣u∣+∣v∣|u\pm v|\le|u|+|v|.
  • Целая часть: n>[t] ⇒ n≥[t]+1>tn>[t]\ \Rightarrow\ n\ge[t]+1>t. Поэтому из «n>t(ε)n>t(\varepsilon)» получаем n(ε)=max⁡(1,[t(ε)])n(\varepsilon)=\max\bigl(1,[t(\varepsilon)]\bigr).
  • Для u,v>0u,v>0: ∣u−v∣<max⁡(u,v)|u-v|<\max(u,v).
  • n(ε)n(\varepsilon) определено неоднозначно: подходит любое большее число.

Алгоритмы

А. Доказать lim⁡xn=a\lim x_n=a по определению

  1. Записать ∣xn−a∣|x_n-a| и упростить.
  2. При необходимости оценить сверху: ∣xn−a∣≤g(n)|x_n-a|\le g(n), где g(n)g(n) — простое выражение, убывающее к нулю.
  3. Решить неравенство g(n)<εg(n)<\varepsilon относительно nn: n>t(ε)n>t(\varepsilon).
  4. Взять n(ε)=max⁡(1,[t(ε)])n(\varepsilon)=\max\bigl(1,[t(\varepsilon)]\bigr).
  5. Проверить: ∀n>n(ε)⇒n>t(ε)⇒∣xn−a∣≤g(n)<ε\forall n>n(\varepsilon)\Rightarrow n>t(\varepsilon)\Rightarrow|x_n-a|\le g(n)<\varepsilon.

Б. Доказать, что aa не является пределом

  1. Записать отрицание определения.
  2. Подобрать конкретное ε0>0\varepsilon_0>0.
  3. Для произвольного N=n(ε)N=n(\varepsilon) явно указать номер n>Nn>N (формулой через NN) с ∣xn−a∣≥ε0|x_n-a|\ge\varepsilon_0.

В. Доказать расходимость через отрицание критерия Коши (главное)

  1. Записать отрицание фундаментальности: ∃ε0>0 ∀N∈N ∃n>N ∃m>N: ∣xn−xm∣≥ε0.\exists\varepsilon_0>0\ \forall N\in\mathbb N\ \exists n>N\ \exists m>N:\ |x_n-x_m|\ge\varepsilon_0.
  2. Подобрать ε0\varepsilon_0. Для колеблющихся последовательностей — половина «скачка» между соседними членами; для сумм — оценка блока x2n−xnx_{2n}-x_n.
  3. Для произвольного NN указать nn и mm явно через NN, оба >N>N (обычно n=N+1n=N+1, m=N+2m=N+2 или m=2nm=2n).
  4. Доказать оценку ∣xn−xm∣≥ε0|x_n-x_m|\ge\varepsilon_0.
  5. Вывод: последовательность не фундаментальная, значит, по критерию Коши она расходится.

Г. Доказать фундаментальность (и тем самым сходимость)

  1. Для n,m>Nn,m>N оценить ∣xn−xm∣|x_n-x_m| сверху выражением, зависящим только от NN: ∣xn−xm∣<h(N)|x_n-x_m|<h(N).
  2. Решить h(N)≤εh(N)\le\varepsilon и взять n(ε)n(\varepsilon).
  3. Вывод: фундаментальная, значит, по критерию Коши сходится.

Разобранные примеры

Пример 1 (из лекции, сл. 33–36). xn=(−1)n⋅1n+1x_n=(-1)^n\cdot\dfrac{1}{n+1}, a=0a=0. Найти n(ε)n(\varepsilon) при ε=0,3\varepsilon=0{,}3 и ε=0,2\varepsilon=0{,}2; доказать, что lim⁡xn=0\lim x_n=0.

Решение

Члены: x1=−12, x2=13, x3=−14, x4=15, x5=−16,…x_1=-\frac12,\ x_2=\frac13,\ x_3=-\frac14,\ x_4=\frac15,\ x_5=-\frac16,\dots

∣xn−0∣=1n+1<ε  ⟺  n+1>1ε  ⟺  n>1ε−1.|x_n-0|=\dfrac1{n+1}<\varepsilon\iff n+1>\dfrac1\varepsilon\iff n>\dfrac1\varepsilon-1.

Берём n(ε)=max⁡(1,[1ε−1])n(\varepsilon)=\max\left(1,\left[\dfrac1\varepsilon-1\right]\right):

  • ε=0,3\varepsilon=0{,}3:  10,3−1=2,33…\ \frac1{0{,}3}-1=2{,}33\ldots,  n(0,3)=2\ n(0{,}3)=2 — совпадает со слайдом 36. Проверка: ∣x3∣=14<0,3|x_3|=\frac14<0{,}3, а ∣x2∣=13>0,3|x_2|=\frac13>0{,}3.
  • ε=0,2\varepsilon=0{,}2:  10,2−1=4\ \frac1{0{,}2}-1=4,  n(0,2)=4\ n(0{,}2)=4 — совпадает со слайдом. Проверка: ∣x5∣=16<0,2|x_5|=\frac16<0{,}2, а ∣x4∣=15=0,2≮0,2|x_4|=\frac15=0{,}2\not<0{,}2.

Для любого ε>0\varepsilon>0 при n>n(ε)n>n(\varepsilon) имеем n>1ε−1n>\frac1\varepsilon-1, значит, ∣xn∣<ε|x_n|<\varepsilon. Следовательно, lim⁡n→+∞xn=0\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0.

Вывод лектора: чем меньше ε\varepsilon, тем больше номер n(ε)n(\varepsilon), но внутри ε\varepsilon-окрестности точки aa всегда находится бесконечное число членов.

Пример 2 (алгоритм Б). Доказать, что 11 не является пределом xn=(−1)nx_n=(-1)^n.

Решение

Отрицание: ∃ε>0 ∀N ∃n>N: ∣xn−1∣≥ε\exists\varepsilon>0\ \forall N\ \exists n>N:\ |x_n-1|\ge\varepsilon.

Возьмём ε0=1\varepsilon_0=1. Для произвольного NN возьмём n=2N+1>Nn=2N+1>N (нечётное): ∣xn−1∣=∣−1−1∣=2≥1|x_n-1|=|-1-1|=2\ge1.

Пример 3 (алгоритм В, из лекции: xn=(−1)nx_n=(-1)^n). Доказать расходимость.

Решение

Отрицание фундаментальности: ∃ε0>0 ∀N ∃n,m>N: ∣xn−xm∣≥ε0\exists\varepsilon_0>0\ \forall N\ \exists n,m>N:\ |x_n-x_m|\ge\varepsilon_0.

Соседние члены отличаются на 22, поэтому берём ε0=1\varepsilon_0=1. Для произвольного N∈NN\in\mathbb N положим n=N+1n=N+1, m=N+2m=N+2 (оба >N>N):
∣xn−xm∣=∣(−1)N+1−(−1)N+2∣=∣(−1)N+1∣⋅∣1−(−1)∣=2≥1.|x_n-x_m|=\left|(-1)^{N+1}-(-1)^{N+2}\right|=\left|(-1)^{N+1}\right|\cdot|1-(-1)|=2\ge1.
Последовательность не фундаментальная, значит, по критерию Коши она расходится.

Пример 4 (алгоритм В) не из лекций. xn=1+12+13+⋯+1nx_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac1n. Доказать расходимость.

Решение

Здесь ∣xn+1−xn∣=1n+1→0|x_{n+1}-x_n|=\frac1{n+1}\to0, поэтому соседние члены не помогают: надо брать далёкие номера.

Возьмём ε0=12\varepsilon_0=\frac12. Для произвольного NN положим n=N+1n=N+1, m=2n=2N+2m=2n=2N+2 (оба >N>N):
xm−xn=1n+1+1n+2+⋯+12n ≥ n⋅12n=12.x_m-x_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\dots+\frac1{2n}\ \ge\ n\cdot\frac1{2n}=\frac12.
Здесь nn слагаемых, каждое ≥12n\ge\frac1{2n}. Получаем ∣xn−xm∣≥12=ε0|x_n-x_m|\ge\frac12=\varepsilon_0: последовательность не фундаментальная, значит, по критерию Коши она расходится.

Следствие: xnx_n возрастает и расходится, значит, по теореме Вейерштрасса (л. 3–4) она не может быть ограниченной.

Пример 5 (алгоритм Г, из лекции: сл. 41). xn=1nx_n=\dfrac1n — доказать фундаментальность.

На слайде 41 пример только поставлен («Пример: xn=1nx_n=\frac1n, ∀n∈N\forall n\in\mathbb N»), решения в PDF нет. Решение ниже — моё.

Решение

Для n,m>Nn,m>N:  ∣1n−1m∣<max⁡(1n,1m)<1N.\ \left|\dfrac1n-\dfrac1m\right|<\max\left(\dfrac1n,\dfrac1m\right)<\dfrac1N.

Нужно 1N≤ε\dfrac1N\le\varepsilon, т. е. N≥1εN\ge\dfrac1\varepsilon. Берём n(ε)=[1ε]+1n(\varepsilon)=\left[\dfrac1\varepsilon\right]+1.

Тогда ∀ε>0 ∃n(ε) ∀n,m>n(ε): ∣xn−xm∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists n(\varepsilon)\ \forall n,m>n(\varepsilon):\ |x_n-x_m|<\varepsilon — последовательность фундаментальная, значит, по критерию Коши она сходится (к 00).

Типичные ошибки

  • В отрицании оставлять «∀ε\forall\varepsilon»: нужно одно конкретное ε0\varepsilon_0 (∃\exists).
  • Выбирать n,mn,m не через NN или забывать проверить, что оба >N>N.
  • Проверять фундаментальность только для соседних номеров m=n+1m=n+1: условие ∣xn+1−xn∣→0|x_{n+1}-x_n|\to0 не даёт фундаментальности (пример 4).
  • Брать n(ε)n(\varepsilon) дробным или зависящим от nn: n(ε)∈Nn(\varepsilon)\in\mathbb N и зависит только от ε\varepsilon.
  • Читать n(ε)n(\varepsilon) как «первый подходящий номер»: условие n>n(ε)n>n(\varepsilon), т. е. работает с номера n(ε)+1n(\varepsilon)+1 (на слайде 36 n(0,3)=2n(0{,}3)=2 значит «с n=3n=3»).
  • Считать последовательность с пределом ∞\infty сходящейся: по определению 2 сходимость означает конечный предел.
  • Ссылаться на РК на теорему Больцано–Вейерштрасса как на пройденную: в лекциях её нет.