28. Свойства функций, непрерывных на отрезке

л. 9

Прочитано

В файле РК этой темы нет. Для экзамена нужны формулировки и доказательства.

Важно. В лекциях все пять теорем даны только формулировками, доказательств в слайдах нет (слайды 49, 51 и 53 в PDF пустые; скорее всего, это рисунки к теоремам 2, 3, 4, которые не выгрузились). Доказательства ниже написаны мной и целиком помечены не из лекций. Они опираются только на то, что есть в конспектах: аксиому полноты и теорему Больцано–Вейерштрасса (справочник «Полнота $R$ », тема 6), теорему об ограниченности сходящейся последовательности (тема 7), предельный переход в неравенстве, определения непрерывности (тема 23), теоремы темы 26.

Определения и обозначения

$f(x)\in C([a,b])$ : $f$ непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$ , непрерывна справа в точке $a$ и слева в точке $b$ (тема 24).

В терминах $\varepsilon$ – $\delta$ непрерывность в точке $x_0\in[a,b]$ на отрезке не из лекций:
$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \forall x\in[a,b],\ |x-x_0|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$

Теоремы (формулировки как у Головиной)

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции, первая теорема Вейерштрасса, сл. 47). Если функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то она ограничена на этом отрезке.
$f(x)\in C([a,b])\ \Rightarrow\ \exists M\in R,\ M>0:\ |f(x)|\le M.$

В краткой записи на слайде 47 пропущен квантор: должно быть $\forall x\in[a,b]$ . Правильно: $\exists M>0\ \forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M$ .

Теорема 2 (о достижении непрерывной функцией своих наибольшего и наименьшего значений, вторая теорема Вейерштрасса, сл. 48). Если функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения.
$f(x)\in C([a,b])\ \Rightarrow\ \exists x_*,x^*\in[a,b],\ \forall x\in[a,b]:\ m=f(x_*)\le f(x)\le f(x^*)=M.$
$m,M$ — наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[a,b]$ .

Теорема 3 (о нуле непрерывной функции, первая теорема Больцано–Коши, сл. 50). Если функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)$ , $f(b)$ имеют разные знаки, то $\exists c\in(a,b)$ , в которой функция $f(x)$ обращается в нуль.
$\begin{cases}f(x)\in C([a,b]),\\ f(a)\cdot f(b)<0\end{cases}\Rightarrow\ \exists c\in(a,b):\ f(c)=0.$

Теорема 4 (о промежуточном значении непрерывной функции, вторая теорема Больцано–Коши, сл. 52). Если функция непрерывна на отрезке $[a,b]$ и принимает на границах этого отрезка различные значения, то есть $f(a)=A$ , $f(b)=B$ , $A\ne B$ , то для любого числа $C$ , лежащего между числами $A$ и $B$ , найдётся точка $c\in(a,b)$ такая, что $f(c)=C$ .
$\begin{cases}f(x)\in C([a,b]),\\ f(a)=A,\ f(b)=B,\ A\ne B,\\ A-C-B\end{cases}\Rightarrow\ \exists c\in(a,b):\ f(c)=C.$
Запись $A-C-B$ означает « $C$ лежит между $A$ и $B$ ».

Теорема 5 (о существовании обратной к непрерывной функции, сл. 54). Если функция $y=f(x)$ непрерывна на интервале $(a,b)$ и строго монотонна на этом интервале, то в соответствующем интервале значений этой функции существует обратная функция $x=f^{-1}(y)$ , которая также строго монотонна и непрерывна.

Интервал значений на слайде 54 обозначен тем же $(a,b)$ , что и интервал аргументов. Это опечатка: интервал значений другой. Правильно: $E=f((a,b))=(\alpha,\beta)$ , где $\alpha=\inf f$ , $\beta=\sup f$ (возможно, $\pm\infty$ ).

Доказательства не из лекций

Лемма (непрерывность на отрезке и последовательности). Если $f\in C([a,b])$ , $x_n\in[a,b]$ , $x_n\to x_0\in[a,b]$ , то $f(x_n)\to f(x_0)$ . Доказательство: по $\varepsilon$ берём $\delta$ из определения непрерывности в $x_0$ на отрезке; при $n\ge N(\delta)$ выполнено $|x_n-x_0|<\delta$ , откуда $|f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon$ .

Теорема 1 (ограниченность)

Пусть $f\in C([a,b])$ , но $f$ не ограничена. Тогда для каждого $n\in\mathbb N$ существует $x_n\in[a,b]$ с $|f(x_n)|>n$ .

Последовательность $\{x_n\}$ ограничена ( $a\le x_n\le b$ ). По теореме Больцано–Вейерштрасса существует подпоследовательность $x_{n_k}\to x_0$ . Так как $a\le x_{n_k}\le b$ , предельный переход в неравенстве даёт $x_0\in[a,b]$ .

По лемме $f(x_{n_k})\to f(x_0)$ . Сходящаяся последовательность ограничена (тема 7, теорема 2), значит $|f(x_{n_k})|\le K$ при всех $k$ . Но $|f(x_{n_k})|>n_k\ge k$ . Для $k>K$ получаем противоречие. Следовательно, $f$ ограничена. Теорема доказана.

Теорема 2 (достижение наибольшего и наименьшего значений)

По теореме 1 множество значений $\{f(x):\ x\in[a,b]\}$ непусто и ограничено. По аксиоме полноты существует $M=\sup\limits_{[a,b]}f$ . Докажем, что $M$ достигается.

По свойству супремума для каждого $n$ существует $x_n\in[a,b]$ такое, что
$M-\frac1n<f(x_n)\le M.$
Из ограниченной $\{x_n\}$ выделим подпоследовательность $x_{n_k}\to x^*\in[a,b]$ (Больцано–Вейерштрасс, предельный переход в неравенстве). Тогда:

по лемме $f(x_{n_k})\to f(x^*)$ ;
из $M-\frac1{n_k}<f(x_{n_k})\le M$ по теореме о промежуточной последовательности $f(x_{n_k})\to M$ .

По единственности предела $f(x^*)=M$ . Значит, $f(x)\le f(x^*)=M$ при всех $x\in[a,b]$ .

Для наименьшего значения применяем доказанное к функции $-f$ , она тоже непрерывна: $\max(-f)=-\min f$ достигается в некоторой точке $x_*$ . Теорема доказана.

Теорема 3 (о нуле непрерывной функции)

Пусть для определённости $f(a)<0<f(b)$ (если $f(a)>0>f(b)$ , применяем доказанное к $-f$ ). Рассмотрим
$X=\{x\in[a,b]:\ f(x)<0\}.$
Множество $X$ непусто ( $a\in X$ ) и ограничено сверху числом $b$ . По аксиоме полноты существует $c=\sup X$ , причём $a\le c\le b$ . Докажем, что $f(c)=0$ .

Предположим $f(c)<0$ . Тогда $c\ne b$ (так как $f(b)>0$ ), то есть $c<b$ . Возьмём $\varepsilon=-f(c)>0$ . По непрерывности в $c$ существует $\delta>0$ : для $x\in[a,b]$ , $|x-c|<\delta$ , выполнено $f(x)<f(c)+\varepsilon=0$ . Точка $x=\min\left(c+\frac\delta2,\,b\right)>c$ лежит в $[a,b]$ и удовлетворяет $f(x)<0$ , то есть $x\in X$ , $x>c$ . Это противоречит тому, что $c$ — верхняя граница $X$ .

Предположим $f(c)>0$ . Тогда $c\ne a$ (так как $f(a)<0$ ), то есть $c>a$ . Возьмём $\varepsilon=f(c)>0$ . Существует $\delta>0$ : для $x\in[a,b]$ , $|x-c|<\delta$ , выполнено $f(x)>f(c)-\varepsilon=0$ . Значит, ни одна точка из $(c-\delta,c]\cap[a,b]$ не принадлежит $X$ . Так как $X\subseteq[a,c]$ , получаем $X\subseteq[a,c-\delta]$ : число $c-\delta$ (при необходимости уменьшим $\delta$ , чтобы $c-\delta\ge a$ ) является верхней границей $X$ , меньшей $c$ . Противоречие с тем, что $c$ — наименьшая верхняя граница.

Остаётся $f(c)=0$ . Так как $f(a)\ne0$ и $f(b)\ne0$ , то $c\ne a$ , $c\ne b$ , то есть $c\in(a,b)$ . Теорема доказана.

Теорема 4 (о промежуточном значении)

Пусть для определённости $A<B$ (если $A>B$ , применяем доказанное к $-f$ и числу $-C$ ). Число $C$ лежит строго между: $A<C<B$ .

Рассмотрим $g(x)=f(x)-C$ . Функция $g$ непрерывна на $[a,b]$ как разность непрерывной функции и постоянной (тема 26, теорема 1 и дополнение), причём
$g(a)=A-C<0,\qquad g(b)=B-C>0.$
По теореме 3 существует $c\in(a,b)$ с $g(c)=0$ , то есть $f(c)=C$ . Теорема доказана.

Замечание: для $C=A$ и $C=B$ утверждение тривиально выполняется в точках $a$ и $b$ , но не обязательно во внутренней точке интервала $(a,b)$ (например, $f(x)=x$ на $[0,1]$ , $C=0$ ).

Теорема 5 (обратная функция)

Пусть $f$ строго возрастает на $(a,b)$ (для строго убывающей рассуждения симметричны, или применяем доказанное к $-f$ ). Обозначим $E=f((a,b))$ .

1. Обратная функция существует. Строго монотонная функция инъективна: $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ . Значит, $f:(a,b)\to E$ — биекция, и определена $g=f^{-1}:E\to(a,b)$ , $x=g(y)$ .

2. $g$ строго возрастает. Пусть $y_1<y_2$ в $E$ , $x_i=g(y_i)$ . Если $x_1\ge x_2$ , то $f(x_1)\ge f(x_2)$ , то есть $y_1\ge y_2$ — противоречие. Значит, $x_1<x_2$ .

3. $E$ — интервал. Пусть $y_1<y<y_2$ , $y_1=f(x_1)$ , $y_2=f(x_2)$ , $x_1<x_2$ . Функция $f$ непрерывна на $[x_1,x_2]\subset(a,b)$ и принимает на концах значения $y_1\ne y_2$ . По теореме 4 существует $c\in(x_1,x_2)$ с $f(c)=y$ , то есть $y\in E$ . Значит, вместе с двумя точками $E$ содержит весь отрезок между ними. Кроме того, у $E$ нет наибольшего и наименьшего элементов: для $y=f(x)$ берём $x'<x<x''$ в $(a,b)$ , тогда $f(x')<y<f(x'')$ . Поэтому $E=(\alpha,\beta)$ , $\alpha=\inf E$ , $\beta=\sup E$ (возможно, $\pm\infty$ ).

4. $g$ непрерывна. Пусть $y_0\in(\alpha,\beta)$ , $x_0=g(y_0)$ , $\varepsilon>0$ . Уменьшив $\varepsilon$ , считаем $[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]\subset(a,b)$ . Положим
$y_1=f(x_0-\varepsilon)<y_0<y_2=f(x_0+\varepsilon),\qquad\delta=\min(y_0-y_1,\ y_2-y_0)>0.$
Если $|y-y_0|<\delta$ , то $y_1<y<y_2$ , и по монотонности $g$ (шаг 2)
$x_0-\varepsilon=g(y_1)<g(y)<g(y_2)=x_0+\varepsilon,$
то есть $|g(y)-g(y_0)|<\varepsilon$ . Значит, $g$ непрерывна в каждой точке $E$ . Теорема доказана.

Рабочие формулы и признаки

$f\in C([a,b])\Rightarrow f$ ограничена, и $m=\min f$ , $M=\max f$ достигаются; множество значений $f([a,b])=[m,M]$ (из теорем 2 и 4).
$f\in C([a,b])$ , $f(a)f(b)<0\Rightarrow$ уравнение $f(x)=0$ имеет корень в $(a,b)$ (условие достаточное, не необходимое: корень может быть и без смены знаков на концах).
Монотонность $f$ на $[a,b]$ вместе с непрерывностью даёт единственность корня при смене знака (теорема 5 даёт обратную функцию).
Все теоремы 1–4 используют отрезок и непрерывность в каждой его точке (включая односторонние на концах).

Алгоритм типовых задач

А. Доказать, что уравнение $f(x)=0$ имеет корень на $(a,b)$ .

Проверить, что $f$ непрерывна на $[a,b]$ (элементарная, в области определения — тема 27).
Вычислить $f(a)$ и $f(b)$ , убедиться, что знаки разные.
Сослаться на теорему 3 (о нуле).
Если нужна единственность — доказать монотонность на $[a,b]$ .

Б. Найти множество значений непрерывной функции на отрезке.

Найти $m=\min f$ и $M=\max f$ на $[a,b]$ (на концах и в критических точках).
Ответ: $[m,M]$ (теоремы 2 и 4).

Разобранный пример

Задача 1. Доказать, что уравнение $x^3+x-1=0$ имеет корень на $(0,1)$ .

Решение

$f(x)=x^3+x-1$ — многочлен, непрерывен на $R$ , в частности на $[0,1]$ . $f(0)=-1<0$ , $f(1)=1>0$ , значит, $f(0)f(1)<0$ . По теореме о нуле $\exists c\in(0,1):\ f(c)=0$ . Единственность: $f$ строго возрастает как сумма строго возрастающих $x^3$ и $x$ и постоянной, поэтому корень один.

Задача 2. Найти множество значений $f(x)=x^2$ на $[-1,2]$ .

Решение

$f$ непрерывна на $[-1,2]$ . Наименьшее значение $m=f(0)=0$ , наибольшее $M=f(2)=4$ ( $f(-1)=1<4$ ). По теоремам 2 и 4 $f([-1,2])=[0,4]$ .

Типичные ошибки

Применять теоремы к интервалу или к функции с разрывом на отрезке. Контрпримеры не из лекций: $f(x)=\frac1x$ на $(0,1]$ непрерывна, но не ограничена; $f(x)=x$ на $(0,1)$ ограничена, но не достигает $\sup=1$ и $\inf=0$ ; $f(x)=\frac1x$ на $[-1,1]$ (с любым значением в нуле) меняет знак, но нуля нет — разрыв в $x=0$ .
Требовать от теоремы о нуле обратного: $f(a)f(b)>0$ не означает отсутствия корней (у $x^2-1$ на $[-2,2]$ значения на концах одинаковы, корни есть).
Писать в теореме 3 « $f(a)f(b)\le0$ »: при $=0$ корень уже на конце, но не в интервале.
Путать две теоремы Вейерштрасса и две теоремы Больцано–Коши: первая в каждой паре — про ограниченность и про нуль, вторая — про достижение $m,M$ и про промежуточное значение.
Забывать, что теорема 5 даёт непрерывность обратной на интервале значений $(\alpha,\beta)$ , а не на $(a,b)$ (опечатка слайда).

Прочитано