21. Сравнение б.м., главная часть, порядки

л. 7–8 · вопросы РК: A19, A20, A21, A22

Прочитано

РК: A19 (одного порядка), A20 (несравнимые), A21 (эквивалентные), A22 (порядок малости одной функции относительно другой); задачи типа 2 (главная часть, порядки, сравнение).

Определения (дословно по слайдам)

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две б.м.ф. при $x\to x_0$ .

Определение 1. Б.м.ф. $f(x)$ и $g(x)$ называют сравнимыми при $x\to x_0$ , если существует один из пределов: $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ или $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)}{f(x)}$ . Далее будем рассматривать первый предел.

Определение 2. Б.м.ф. $f(x)$ и $g(x)$ называют несравнимыми при $x\to x_0$ , если $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ не существует.

Определение 3. Б.м.ф. $f(x)$ имеет высший порядок малости (в.п.м.) по сравнению с б.м.ф. $g(x)$ при $x\to x_0$ , если $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ . Обозначение: $f(x)=o\bigl(g(x)\bigr)$ при $x\to x_0$ .

Определение 4. Б.м.ф. $g(x)$ имеет высший порядок малости по сравнению с б.м.ф. $f(x)$ при $x\to x_0$ , если $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ . Обозначение: $g(x)=o\bigl(f(x)\bigr)$ при $x\to x_0$ .

Определение 5. Б.м.ф. $f(x)$ и $g(x)$ называют б.м.ф. одного порядка малости при $x\to x_0$ , если существует конечный предел $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=a\ne0$ . Обозначение: $f(x)=O\bigl(g(x)\bigr)$ , $g(x)=O\bigl(f(x)\bigr)$ при $x\to x_0$ .

Определение 6. Б.м.ф. $f(x)$ и $g(x)$ называют эквивалентными при $x\to x_0$ , если $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$ . Обозначение: $f(x)\sim g(x)$ при $x\to x_0$ .

Определение 7. Число $k$ называется порядком малости б.м.ф. $f(x)$ относительно б.м.ф. $g(x)$ при $x\to x_0$ , если существует конечный предел $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g^k(x)}=a\ne0$ , где $k>0$ — порядок малости.

Опр. 2 и пример (сл. 26). (а) По опр. 1 сравнимы, если существует хотя бы один из пределов $\frac fg$ , $\frac gf$ ; согласованная формулировка опр. 2 не из лекций: «несравнимы, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела $\frac{f}{g}$ » (тогда не существует и предела $\frac gf$ ). (б) В примере лектора $g(x)=x\sin\frac1x$ обращается в $0$ в точках $\frac1{\pi n}\to0$ , так что $\frac fg$ не определено ни в какой проколотой окрестности нуля. Корректный пример не из лекций: $f=x$ , $g=x\left(2+\sin\frac1x\right)$ : $\frac fg=\frac1{2+\sin\frac1x}$ — определено, предела не имеет (колеблется между $\frac13$ и $1$ ).

Расхождение со слайдами. Обозначение $O$ . У лектора $f=O(g)$ — «одного порядка» ( $\lim\frac fg=a\ne0$ ). Во многих учебниках $O(g)$ означает более слабое « $\frac fg$ ограничено». На РК при вопросе «одного порядка» писать словами и через предел; знак $O$ — как у лектора.

Таблица (сводка) — для $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ :

Предел $\frac fg$	Вывод	Запись
$0$	$f$ — в.п.м. по сравнению с $g$	$f=o(g)$
$\infty$	$g$ — в.п.м. по сравнению с $f$	$g=o(f)$
$a\ne0$ , конечный	одного порядка	$f=O(g)$
$1$	эквивалентны	$f\sim g$
не существует ( $0$ , $\infty$ , число — нет)	несравнимы	—

Главная часть и порядок малости относительно $x-x_0$ не из лекций — раздел для задач типа 2

Определение. Пусть $f(x)$ — б.м.ф. при $x\to x_0$ ( $x_0$ — число). Если
$f(x)\sim C(x-x_0)^k\quad\text{при }x\to x_0,\qquad C\ne0,\ k>0,$
т. е. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{C(x-x_0)^k}=1$ , то $C(x-x_0)^k$ называется главной частью $f$ , а $k$ — порядком малости $f$ относительно $x-x_0$ .

Связь с лекцией: это опр. 7 при $g(x)=x-x_0$ : $\lim\frac{f(x)}{(x-x_0)^k}=C\ne0$ . Для $x_0=0$ : главная часть $Cx^k$ .

При $x\to\infty$ , б.м.ф.: если $f(x)\sim Cx^\alpha$ , $C\ne0$ , то $\alpha<0$ ; порядок малости относительно $\frac1x$ равен $k=-\alpha$ ( $Cx^\alpha=\frac{C}{x^k}$ ).

Порядок роста б.б.ф.:

При $x\to\infty$ : если $f(x)\sim Cx^k$ , $C\ne0$ , $k>0$ , то $Cx^k$ — главная часть, $k$ — порядок роста относительно $x$ .
При $x\to x_0$ : если $f(x)\sim\dfrac{C}{(x-x_0)^k}=C(x-x_0)^{-k}$ , $k>0$ — порядок роста относительно $\frac1{x-x_0}$ (в формате задачи: $C(x-x_0)^\alpha$ с $\alpha=-k<0$ ).

Сравнение б.б.ф. не из лекций, по аналогии с опр. 3–6: если $\lim\frac fg=\infty$ — $f$ имеет высший порядок роста; $a\ne0$ — одного порядка роста; $1$ — эквивалентны. Через главные части: больше порядок роста — «быстрее» растёт.

Как сравнивать по главным частям: если $f\sim C_1(x-x_0)^{k_1}$ , $g\sim C_2(x-x_0)^{k_2}$ (б.м.), то
$\frac fg\sim\frac{C_1}{C_2}(x-x_0)^{k_1-k_2}\to\begin{cases}0,&k_1>k_2\ (f=o(g)),\\ \frac{C_1}{C_2},&k_1=k_2\ (\text{одного порядка};\ \sim\text{ при }C_1=C_2),\\ \infty,&k_1<k_2\ (g=o(f)).\end{cases}$

Алгоритм задачи типа 2 (а — б.м./б.б., б — главная часть и порядок, в — сравнение)

а) Тип. Подставить предельную точку: $\lim f=0$ — б.м.; $\lim f=\infty$ — б.б. Записать предел явно.

б) Главная часть.

Если $x_0\ne0$ и $x_0\ne\infty$ — замена $t=x-x_0\to0$ (ищем $Ct^k$ ).
Если $x\to\infty$ — выделять старшие степени $x$ (для б.м. при $x\to\infty$ — замена $t=\frac1x\to0$ удобна).
Представить $f$ как произведение/частное множителей; каждый множитель заменить эквивалентным (таблица темы 22) или вынести константу (множитель $\to$ число $\ne0$ ).
Если $f$ — сумма слагаемых разных порядков — оставить слагаемое низшего порядка малости / высшего порядка роста (теорема 2 темы 22). Если порядки одинаковы — сложить главные части; если они сокращаются — нужна большая точность (переписать $f$ иначе).
Записать: $f\sim C(x-x_0)^k$ ; $C=\dots$ , порядок малости (роста) $=k$ .
Проверка: $\lim\frac{f}{C(x-x_0)^k}=1$ .

в) Сравнение. Сравнить порядки: см. формулу выше. Записать вывод словами и символами ( $f=o(g)$ , одного порядка, $\sim$ ). Если одна функция б.м., а другая б.б. — сравнивать нельзя (разные типы).

Разобранные примеры

Пример 1. $\alpha=1-\cos x$ , $\beta=x\sin x$ , $x\to0$ .

Решение

а) $\alpha\to1-1=0$ , $\beta\to0\cdot0=0$ — обе б.м.
б) $\alpha\sim\frac{x^2}2$ : $C=\frac12$ , $k=2$ . $\ \beta=x\cdot\sin x\sim x\cdot x=x^2$ : $C=1$ , $k=2$ .
в) $\frac\alpha\beta\to\frac12\ne0$ — одного порядка, не эквивалентны.

Пример 2 (точка $\ne0$ ). $f=x^3-3x+2$ , $x\to1$ .

Решение

$f(1)=0$ — б.м. Разложение: $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ ; $x+2\to3$ . Главная часть $3(x-1)^2$ , порядок малости $2$ .

Пример 3 ( $x\to\infty$ , б.б. и б.м.). $f=\sqrt{x^3+1}+x$ , $g=\dfrac1{x^2+1}$ , $x\to\infty$ (для $f$ — $x\to+\infty$ ).

Решение

$f$ : $\sqrt{x^3+1}=x^{3/2}\sqrt{1+x^{-3}}\sim x^{3/2}$ ; $x=o(x^{3/2})$ — по теореме 2 (для б.б.) $f\sim x^{3/2}$ : б.б., порядок роста $\frac32$ , главная часть $x^{3/2}$ .
$g$ : $\frac1{x^2+1}\sim\frac1{x^2}=x^{-2}$ : б.м., порядок малости $2$ относительно $\frac1x$ , главная часть $1\cdot x^{-2}$ .
Сравнивать $f$ и $g$ нельзя — разные типы.

Пример 4 (несравнимые). $f=x$ , $g=x\left(2+\sin\frac1x\right)$ , $x\to0$ .

Решение

$|g|\le3|x|\to0$ — б.м. $\frac fg=\frac1{2+\sin\frac1x}$ : на $x_n=\frac1{\pi n}$ равно $\frac12$ , на $x_n=\frac1{\frac\pi2+2\pi n}$ равно $\frac13$ — по Гейне предела нет (ни конечного, ни бесконечного) — несравнимы.

Задачи 2.1–2.3 и задача 4 типового варианта — в «Решениях РК».

Типичные ошибки

Оставлять в главной части множитель, стремящийся к числу: его надо заменить числом ( $x+2\to3$ ).
При $x_0\ne0$ искать главную часть вида $Cx^k$ — нужна $C(x-x_0)^k$ .
Сравнивать б.м. с б.б.
Для б.б. писать «порядок малости» — это порядок роста.
Считать «одного порядка» и «эквивалентны» синонимами: эквивалентность — частный случай с $a=1$ .
В сумме одного порядка складывать главные части, не проверив, что они не сокращаются.

Прочитано

21. Сравнение б.м., главная часть, порядки

Определения (дословно по слайдам)

Главная часть и порядок малости относительно x−x0x-x_0x−x0​ не из лекций — раздел для задач типа 2

Алгоритм задачи типа 2 (а — б.м./б.б., б — главная часть и порядок, в — сравнение)

Разобранные примеры

Типичные ошибки

Главная часть и порядок малости относительно $x-x_0$ не из лекций — раздел для задач типа 2