На чём валятся

Ловушка: увидеть «$x-\pi$» в знаменателе и решить, что $g$ — первого порядка. Но $3{,}14\ne\pi$: знаменатель $\to\pi-3{,}14\ne0$ — это просто число.
Правильно: $g\sim\frac{(x-\pi)^2}{\pi-3{,}14}$, порядок $2$; $f=1+\cos x\sim\frac{(x-\pi)^2}2$; $\frac fg\to\frac{\pi-3{,}14}2$ — одного порядка, не эквивалентны.

Ловушка: проверить только точку склейки $x=0$ (там всё непрерывно: $f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0$).
Правильно: $\ln(x+\frac12)=0$ при $x=\frac12$ — разрыв II рода ($f(\frac12-0)=-\infty$, $f(\frac12+0)=+\infty$).

Ловушка: считать $f(\pm\pi)$ определённым («$|x|\ge\pi$ включает $\pm\pi$»). Показатель $\frac1{x^2-\pi^2}$ при $x=\pm\pi$ не определён.
Правильно: $f(\pi)$, $f(-\pi)$ не существуют; $f(\pi+0)=e^{+\infty}=+\infty$, $f(\pi-0)=\cos\frac1\pi$ — II рода; аналогично в $-\pi$. Плюс $x=0$: $\cos\frac1x$ — II рода (колебания).

Ловушка: проверить только склейку $x=0$ и пропустить $x=\pi$, где $\pi-x=0$.
Правильно: $x=\pi$: $f(\pi-0)=\frac\pi2$, $f(\pi+0)=-\frac\pi2$ — скачок (I рода, $\Delta f=\pi$), не II род, несмотря на «деление на ноль» внутри. В $x=0$: $f(0-0)=1$, $f(0+0)=f(0)=\frac\pi4$ — скачок, $\Delta f=1-\frac\pi4$.

Ловушка: заменить его «эквивалентным» или считать б.м. $\arccos x\to\frac\pi2$ — это константа-множитель.
Правильно: заменить числом $\frac\pi2$. Ответ $0$ (числитель третьего порядка, знаменатель второго).

Ловушка: после сокращения на $(x+3)$ в знаменателе остаётся ещё $(x+3)$ — кратный корень. Ответ не число.
Правильно: $=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x+1)}\to\frac{20}{0}$ — $\infty$; односторонние: $-\infty$ справа, $+\infty$ слева, поэтому без знака.

Ловушка: заменить на $2x-2x=0$.
Правильно: $\operatorname{tg}2x(1-\cos2x)\sim2x\cdot2x^2$.

Ловушка: $\lg\ne\ln$. $\lg u=\frac{\ln u}{\ln10}$. Ответ $\frac{\ln10}2$, а не $\frac12$.

Ловушка: применить $\sin x\sim x$. Аргумент не $\to0$.
Правильно: $t=x-\pi$: $\sin x=-\sin t$, $\pi-x=-t$, $1+\cos x=1-\cos t\sim\frac{t^2}2$; ответ $\frac12$.

Ловушка: «$1$ в любой степени — $1$».
Правильно: $e^{\lim(u-1)v}$.

Ловушка: $\sqrt{x^2}=x$. Правильно: $|x|$; пределы при $\pm\infty$ могут различаться.

(задачи типа 2, пункт в).
Ловушка: сравнивать функции разных типов. Правильно: «сравнение невозможно — одна б.м., другая б.б.».

Ловушка: искать $Cx^\alpha$ с $\alpha>0$. Правильно: у б.м. при $x\to\infty$ $\alpha<0$ ($\frac C{x^k}$), порядок малости $k=-\alpha$.

Ловушка: писать $Cx^k$. Правильно: $C(x-x_0)^k$; множители $\to c\ne0$ заменить числом.

Ловушка: применять теорему о сумме разных порядков, когда порядки равны (главные части могут сократиться: $e^{2x}-e^x$ «$\sim2x-x$» — здесь случайно верно, но $e^x-1-x$ — нет).
Правильно: вынести общий множитель: $e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1)$.

— у лектора только «$f(x_0)$ не существует». Безопасно: «пределы слева и справа равны (конечны), а $f(x_0)$ не определено или не равно им».

— у лектора «существуют конечные пределы функции». Писать: «конечные односторонние пределы».

— без $x_n\ne x_0$ неверно.

— $N(M)$, не $\delta(M)$.

— в РК «на ограниченную», у лектора «на локально ограниченную». Писать «на ограниченную (локально ограниченную) функцию» — верно в обоих смыслах.

— у б.б.; «порядок малости» — у б.м. Не путать в задаче 2.

(половина балла). Рисовать: оси, точку $a$/$x_0$, полосу $\varepsilon$ (или уровень $M$), окрестность $\delta$ (или $N$), график, входящий в полосу.