РК1›Тема 8a. Число e

8a. Число e

л. 3–4

Определения

Рассматривается последовательность
xn=(1+1n)n,∀n∈N.x_n=\left(1+\frac1n\right)^n,\quad\forall n\in\mathbb N.

Число ee — её предел; e=2,7182818284590…e=2{,}7182818284590\dots

Примеры (сл. 11): y=exy=e^x — экспонента; y=log⁡ex=ln⁡xy=\log_e x=\ln x — логарифм натуральный.

Теоремы

Теорема. Последовательность xn=(1+1n)nx_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n имеет предел, равный e=2,7182818284590e=2{,}7182818284590:
lim⁡n→+∞(1+1n)n=e.\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e.

В лекции теорема только заявлена: монотонность и ограниченность xnx_n не доказаны, слайды 11 и далее сразу переходят к гиперболическим функциям.

Доказательство существования предела не из лекций и опоры

Опоры:

ОпораЕсть в лекциях?
Бином Ньютона (1+t)n=∑k=0nCnktk(1+t)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k t^kНет (школьная/алгебраическая формула)
Оценка k!≥2k−1k!\ge2^{k-1} и сумма геометрической прогрессииНет (элементарно)
Теорема ВейерштрассаФормулировка — да (л. 3–4); доказательство — нет, см. справочник «Полнота RR»

Шаг 1. Разложение по биному.
xn=∑k=0nCnk1nk=1+1+∑k=2nn(n−1)⋯(n−k+1)k! nk=2+∑k=2n1k!(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n).x_n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\frac1{n^k}=1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\,n^k}=2+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right).

Шаг 2. Монотонность. Аналогично
xn+1=2+∑k=2n+11k!(1−1n+1)⋯(1−k−1n+1).x_{n+1}=2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k!}\left(1-\frac1{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right).
Сравним почленно: при каждом j≥1j\ge1  1−jn+1>1−jn\ 1-\dfrac{j}{n+1}>1-\dfrac jn, поэтому каждое слагаемое с k≤nk\le n в xn+1x_{n+1} больше соответствующего в xnx_n. Кроме того, в xn+1x_{n+1} есть лишнее положительное слагаемое с k=n+1k=n+1. Значит, xn+1>xnx_{n+1}>x_n — последовательность возрастающая.

Шаг 3. Ограниченность. Каждая скобка (1−jn)∈(0,1)\left(1-\frac jn\right)\in(0,1), поэтому
xn<2+12!+13!+⋯+1n!.x_n<2+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\dots+\frac1{n!}.
Так как k!=1⋅2⋅3⋯k≥2k−1k!=1\cdot2\cdot3\cdots k\ge2^{k-1}:
xn<1+(1+12+122+⋯+12n−1)=1+1−12n1−12=3−12n−1<3.x_n<1+\left(1+\frac12+\frac1{2^2}+\dots+\frac1{2^{n-1}}\right)=1+\frac{1-\frac1{2^n}}{1-\frac12}=3-\frac1{2^{n-1}}<3.
Снизу: xn≥x1=2x_n\ge x_1=2. Итого 2≤xn<32\le x_n<3.

Шаг 4. Последовательность монотонна и ограничена, по теореме Вейерштрасса существует предел; его обозначают ee. Из x2=2,25≤xn<3x_2=2{,}25\le x_n<3 следует 2,25≤e≤32{,}25\le e\le3 (предельный переход в неравенстве — для последовательностей аналогично теореме 4 л. 3–4 не из лекций).

Рабочие формулы

  • lim⁡n→+∞(1+1n)n=e≈2,718\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=e\approx2{,}718.
  • 2≤(1+1n)n<32\le\left(1+\dfrac1n\right)^n<3, последовательность возрастает [из доказательства, не из лекций].
  • ln⁡x=log⁡ex\ln x=\log_e x,  ln⁡e=1\ \ln e=1,  eln⁡x=x\ e^{\ln x}=x (x>0x>0).
  • Развитие темы — второй замечательный предел lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e и его следствия: тема 20 (л. 7–8).

Алгоритм типовых задач

Основные задачи с ee (неопределённость 1∞1^\infty) решаются через второй замечательный предел — тема 20. Здесь только сведение к (1+1n)n\left(1+\frac1n\right)^n:

  1. Выделить множитель (1+1n)n\left(1+\frac1n\right)^n.
  2. Оставшиеся множители посчитать отдельно.
  3. Применить предел произведения (внимание: арифметика пределов последовательностей — не из лекций, аналог л. 5).

Разобранный пример

Пример. lim⁡n→+∞(1+1n)n+1\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}.

Решение

(1+1n)n+1=(1+1n)n⋅(1+1n)→e⋅1=e.\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=\left(1+\frac1n\right)^n\cdot\left(1+\frac1n\right)\to e\cdot1=e.

Типичные ошибки

  • Считать, что (1+1n)n→1\left(1+\frac1n\right)^n\to1, потому что «1+1n→11+\frac1n\to1, а 11 в любой степени — 11». Это неопределённость 1∞1^\infty.
  • Писать, что в лекции доказано существование предела: только заявлено.
  • Применять к (1+12n)n\left(1+\frac1{2n}\right)^n формулу «сразу ee»: показатель должен совпадать с обратной величиной добавки — (1+12n)2n→e\left(1+\frac1{2n}\right)^{2n}\to e, а (1+12n)n→e\left(1+\frac1{2n}\right)^n\to\sqrt e (см. тему 20).