9. Предел функции по Коши и по Гейне

л. 3–4 · вопросы РК: A16

Прочитано

Определения

Пусть функция $y=f(x)$ определена в окрестности точки $x_0$ , за исключением, может быть, самой точки $x_0$ .

Определение 1. Окрестность, из которой исключена точка $x_0$ , называется проколотой окрестностью этой точки:
$\overset{\circ}{S}(x_0)=S(x_0)\setminus\{x_0\}.$

Определение 2 (предел функции по Коши, или на языке $\varepsilon,\delta$ ). Число $a$ называется пределом функции $y=f(x)$ при $x\to x_0$ , если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ существует такое достаточно малое число $\delta$ , что в проколотой $\delta$ -окрестности точки $x_0$ выполнено неравенство $|f(x)-a|<\varepsilon$ :
$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\ \overset{def}{\iff}\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon.$
$x_0$ называется предельной точкой.

Различные формы записи условия на $x$ :
$\forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\iff\forall x:\ 0<|x-x_0|<\delta\iff\forall x,\ x\ne x_0:\ |x-x_0|<\delta.$

Геометрический смысл: если значения $x$ попадают в интервал $(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$ , то соответствующие значения $y$ функции $y=f(x)$ попадают в интервал $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ .

Определение 3 (предел функции по Гейне, или на языке последовательностей). Число $a$ называется пределом функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ , если для любой последовательности $x_n$ из области определения функции, сходящейся к $x_0$ , соответствующая последовательность значений $\{f(x_n)\}$ сходится к $a$ :
$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\ \overset{def}{\iff}\ \forall\{x_n\}\in D_f:\ \lim_{n\to+\infty}x_n=x_0\ \Rightarrow\ \lim_{n\to+\infty}f(x_n)=a.$

Как в слайде 19: условие $x_n\ne x_0$ не записано. Без него определение Гейне не согласуется с определением Коши, где точка $x_0$ выколота: например, для $f(x)=\begin{cases}1,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$ по Коши $\lim\limits_{x\to0}f(x)=1$ , а постоянная последовательность $x_n=0$ даёт $f(x_n)\to0$ . Правильно не из лекций:
$\forall\{x_n\}:\ x_n\in D_f,\ x_n\ne x_0,\ \lim_{n\to+\infty}x_n=x_0\ \Rightarrow\ \lim_{n\to+\infty}f(x_n)=a.$

Определения для односторонних пределов, пределов на бесконечности и бесконечных пределов — тема 17 (сводные таблицы).

Отрицания не из лекций

По Коши ( $a$ не является пределом):
$\lim_{x\to x_0}f(x)\ne a\iff\exists\varepsilon>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0):\ |f(x)-a|\ge\varepsilon.$

По Гейне ( $a$ не является пределом): существует последовательность $x_n\to x_0$ , $x_n\ne x_0$ , для которой $f(x_n)\not\to a$ .

Предела не существует (рабочий признак по Гейне): существуют две последовательности $x_n'\to x_0$ , $x_n''\to x_0$ ( $x_n',x_n''\ne x_0$ ) такие, что
$\lim_{n\to\infty}f(x_n')=A,\quad\lim_{n\to\infty}f(x_n'')=B,\quad A\ne B;$
либо одна последовательность $x_n\to x_0$ , для которой $f(x_n)$ не имеет предела.

Теоремы

Теорема (эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне). Пределы функции $y=f(x)$ при $x\to x_0$ по Коши и по Гейне эквивалентны.

В слайде 22: «…по Коши и по Гейне при $x\to x_0$ эквивалентности» — опечатка, «эквивалентны».

В лекции без доказательства. Идея не из лекций:

Коши $\Rightarrow$ Гейне: для $x_n\to x_0$ , $x_n\ne x_0$ , по $\delta(\varepsilon)$ найдётся номер, начиная с которого $x_n\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)$ , значит, $|f(x_n)-a|<\varepsilon$ .
Гейне $\Rightarrow$ Коши: от противного. Если по Коши $a$ не предел, то $\exists\varepsilon_0\ \forall\delta=\frac1n\ \exists x_n:\ 0<|x_n-x_0|<\frac1n,\ |f(x_n)-a|\ge\varepsilon_0$ . Получили $x_n\to x_0$ , но $f(x_n)\not\to a$ — противоречие с Гейне.

Пример из лекции (сл. 21–22): $\lim\limits_{x\to\infty}\cos x$ не существует

$y=\cos x$ , $D_f=R$ , $\infty$ — предельная точка.

Первая последовательность: $x_n=2\pi n\in D_f$ , $n\in\mathbb N$ :
$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}2\pi n=2\pi\cdot\lim_{n\to\infty}n=\infty,\qquad\lim_{n\to\infty}\cos(2\pi n)=1,\quad a=1.$

Вторая последовательность: $x_n=\pi+2\pi n\in D_f$ , $n\in\mathbb N$ :
$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}(\pi+2\pi n)=\pi+2\pi\cdot\lim_{n\to\infty}n=\pi+\infty=\infty,\qquad\lim_{n\to\infty}\cos(\pi+2\pi n)=-1,\quad a=-1.$

По теореме о единственности предела приходим к выводу, что $\lim\limits_{x\to\infty}\cos x$ не существует.

В слайде 22 ссылка «по теореме о единственности предела функции». Эта теорема доказывается позже (сл. 26–31). По сути здесь работает единственность предела последовательности (тема 7): если бы $\lim\cos x=a$ , то по Гейне $\cos x_n'\to a$ и $\cos x_n''\to a$ , откуда $a=1$ и $a=-1$ . Концовка слайда «Равенство доказано» — тоже неточность: доказано несуществование предела.

Алгоритм: доказать, что предела нет (по Гейне)

Подобрать две последовательности $x_n'\to x_0$ и $x_n''\to x_0$ (не равные $x_0$ ), на которых $f$ принимает «удобные» значения — обычно точки, где периодическая функция равна разным числам.
Проверить, что обе стремятся к $x_0$ .
Посчитать $\lim f(x_n')=A$ и $\lim f(x_n'')=B$ .
Если $A\ne B$ — предела нет (по Гейне и единственности предела последовательности).

Примеры

Пример 1. $\lim\limits_{x\to0}\sin\dfrac1x$ не существует.

Решение

$x_n'=\dfrac1{\pi n}\to0$ : $\ \sin\dfrac1{x_n'}=\sin\pi n=0\to0$ .

$x_n''=\dfrac1{\frac\pi2+2\pi n}\to0$ : $\ \sin\dfrac1{x_n''}=\sin\left(\dfrac\pi2+2\pi n\right)=1\to1$ .

$0\ne1$ , значит, предела нет.

Пример 2 (по определению Коши) не из лекций. Доказать $\lim\limits_{x\to2}(3x-1)=5$ .