РК1: пределы и непрерывность

Деление на $(x-1)$ (схема Горнера):
$x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x^2+5x+6)=(x-1)(x+2)(x+3)$;
$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2)^2$.
$$\lim_{x\to1}\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}=\lim_{x\to1}\frac{x+3}{x+2}=\frac43.$$
Ответ: $\frac43$.

$x^3-7x+6=(x+3)(x^2-3x+2)=(x+3)(x-1)(x-2)$;
$x^3+7x^2+15x+9=(x+3)(x^2+4x+3)=(x+3)^2(x+1)$.
$$\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x+1)}\to\frac{(-4)(-5)}{0\cdot(-2)}=\frac{20}{0}.$$
Числитель $\to20\ne0$, знаменатель — б.м. ⇒ предел $\infty$ (тема 18).
Односторонние: $x\to-3+$: $(x+3)\to0+$, $(x+1)\to-2$, знаменатель $\to0-$ ⇒ $-\infty$; $x\to-3-$ ⇒ $+\infty$.
Ответ: $\infty$ ($-\infty$ справа, $+\infty$ слева).

$$\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}=\frac{(x+3)-(x-2)}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}}=\frac5{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}}.$$
$$\sqrt x\cdot\frac5{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}}=\frac5{\sqrt{1+\frac3x}+\sqrt{1-\frac2x}}\to\frac5{1+1}=\frac52.$$
Ответ: $\frac52$.

$$\frac{(x^2+3x)-(x^2+1)}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1}}=\frac{3-\frac1x}{\sqrt{1+\frac3x}+\sqrt{1+\frac1{x^2}}}\to\frac32$$
(делим на $x>0$, $\sqrt{x^2}=x$).
Ответ: $\frac32$.

$u=x\operatorname{tg}x\to0$: $\sqrt[3]{1+u}-1\sim\frac u3=\frac{x\operatorname{tg}x}3\sim\frac{x^2}3$.
$2^{x^2}-1\sim x^2\ln2$.
$$\lim_{x\to0}\frac{x^2/3}{x^2\ln2}=\frac1{3\ln2}.$$
Ответ: $\frac1{3\ln2}$.

Числитель: $e^x-e^{2x}=e^x(1-e^x)=-e^x(e^x-1)\sim-1\cdot x=-x$.
Знаменатель: $\sqrt{4-x}-2=2\left(\sqrt{1-\frac x4}-1\right)\sim2\cdot\frac{-x/4}2=-\frac x4$.
$$\lim_{x\to0}\frac{-x}{-x/4}=4.$$
(Или сопряжённое: $\sqrt{4-x}-2=\frac{-x}{\sqrt{4-x}+2}$.)
Ответ: $4$.

$\ln\cos2x=\ln\bigl(1+(\cos2x-1)\bigr)\sim\cos2x-1\sim-\frac{(2x)^2}2=-2x^2$.
Ответ: $-2$.

$t=x-\pi\to0$: $\cos x=\cos(\pi+t)=-\cos t$; $\sin x=\sin(\pi+t)=-\sin t$; $\pi-x=-t$.
$$\frac{1-\cos t}{(-t)(-\sin t)}=\frac{1-\cos t}{t\sin t}\sim\frac{t^2/2}{t\cdot t}=\frac12.$$
Ответ: $\frac12$.

$\operatorname{tg}2x-\sin2x=\operatorname{tg}2x\,(1-\cos2x)\sim2x\cdot\frac{(2x)^2}2=4x^3$. $\ 2^{x^3}-1\sim x^3\ln2$.
Ответ: $\frac4{\ln2}$.

$u-1=\frac{x+5}{x-1}-1=\frac6{x-1}$; $\ (u-1)v=\frac{6(3x+2)}{x-1}\to18$.
$$\left(1+\frac6{x-1}\right)^{3x+2}=\left[\left(1+\frac6{x-1}\right)^{\frac{x-1}6}\right]^{\frac{6(3x+2)}{x-1}}\to e^{18}.$$
Ответ: $e^{18}$.

$u=\frac{\operatorname{tg}x}{\sin x}=\frac1{\cos x}\to1$; $u-1=\frac{1-\cos x}{\cos x}\sim\frac{x^2}2$; $v=\frac1{\sin^2x}\sim\frac1{x^2}$.
$(u-1)v\to\frac12$. Ответ: $e^{1/2}=\sqrt e$.

$u-1=\cos x-1\sim-\frac{x^2}2$; $v=\frac1{\operatorname{tg}x^2}\sim\frac1{x^2}$; $(u-1)v\to-\frac12$.
Ответ: $e^{-1/2}=\frac1{\sqrt e}$.

$x\ln\frac{1+x}x=x\ln\left(1+\frac1x\right)\sim x\cdot\frac1x=1$. Ответ: $1$.

Приём не из лекций: $\ln(A\cdot(1+\text{б.м.}))=\ln A+\ln(1+\text{б.м.})$, второе слагаемое $\to0$ — б.б. плюс б.м. эквивалентна б.б.
$\ln(1+x^2)=\ln x^2+\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\sim2\ln|x|$.
$\lg(10+x^4)=\lg x^4+\lg\left(1+\frac{10}{x^4}\right)\sim4\lg|x|=\frac{4\ln|x|}{\ln10}$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln|x|}{4\ln|x|/\ln10}=\frac{\ln10}2.$$
Ответ: $\frac{\ln10}2\approx1{,}151$.

а) $u=\frac1x\to0$: $x^7\sin\frac1x\sim x^7\cdot\frac1x=x^6\to\infty$. Слагаемое $x\cos x$: $\left|\frac{x\cos x}{x^6}\right|\le\frac1{|x|^5}\to0$, т. е. $x\cos x=o(x^6)$. Тогда $f=x^6\left(x\sin\frac1x+\frac{\cos x}{x^5}\right)$, скобка $\to1+0=1$ ⇒ $f\to\infty$ — б.б.
$g=x^3\operatorname{arctg}\frac1x\sim x^3\cdot\frac1x=x^2\to\infty$ — б.б.

б) $f\sim x^6$: главная часть $x^6$ ($C=1$), порядок роста $6$.
$g\sim x^2$: главная часть $x^2$ ($C=1$), порядок роста $2$.

в) $\frac fg\sim x^4\to\infty$ ⇒ $f$ — б.б. высшего порядка роста по сравнению с $g$.

а) $f\to0\cdot\ln1=0$; $g\to1-1=0$ — обе б.м.

б) $f=x\cdot\ln(1+x)\sim x\cdot x=x^2$: главная часть $x^2$, порядок малости $2$.
$g=e^x(e^x-1)$, $e^x\to1$, $e^x-1\sim x$ ⇒ $g\sim x$: главная часть $x$, порядок $1$.

в) $\frac fg\sim x\to0$ ⇒ $f=o(g)$: $f$ — высшего порядка малости.

а) $f\to1+\cos\pi=0$; $g\to\frac0{\pi-3{,}14}=0$ ($\pi-3{,}14\approx0{,}0016\ne0$) — обе б.м.

б) $t=x-\pi$: $1+\cos x=1-\cos t\sim\frac{t^2}2$ ⇒ $f\sim\frac12(x-\pi)^2$: порядок $2$, $C=\frac12$.
$x-3{,}14\to\pi-3{,}14$ (число) ⇒ $g\sim\frac1{\pi-3{,}14}(x-\pi)^2$: порядок $2$, $C=\frac1{\pi-3{,}14}\approx628{,}7$.

в) $\frac fg\to\frac{\pi-3{,}14}2\approx0{,}0008\ne0$, $\ne1$ ⇒ одного порядка малости, не эквивалентны.

Подозрительные точки. $\cos\frac1x$ не определена при $x=0$; $e^{1/(x^2-\pi^2)}$ не определена при $x=\pm\pi$ (ловушка: $|x|\ge\pi$ формально включает $\pm\pi$, но формула там не работает). Точки склейки — те же $\pm\pi$. Вне $\{0,\pm\pi\}$ функция непрерывна как элементарная.

$x=0$: $f(0)$ не определено. Предела $\cos\frac1x$ нет ни справа, ни слева (по Гейне: $x_n=\frac1{2\pi n}\to0+$ даёт $1$, $x_n=\frac1{\pi+2\pi n}\to0+$ даёт $-1$; слева аналогично). ⇒ II рода.

$x=\pi$: $f(\pi-0)=\cos\frac1\pi\approx0{,}95$; $\ f(\pi+0)$: $x^2-\pi^2\to0+$, $e^{1/(0+)}=e^{+\infty}=+\infty$ ⇒ II рода.

$x=-\pi$: $f(-\pi+0)=\cos\left(-\frac1\pi\right)=\cos\frac1\pi$; $\ f(-\pi-0)$: $x^2-\pi^2\to0+$ ⇒ $+\infty$ ⇒ II рода.

График: около $0$ — волна, сгущающаяся к $x=0$, в полосе $y\in[-1;1]$ (пунктиры $y=\pm1$). Около $\pm\pi$: изнутри ветвь подходит к выколотой точке $(\pm\pi;\cos\frac1\pi)$; снаружи — пунктирная асимптота $x=\pm\pi$, ветвь уходит вверх к $+\infty$.

Подозрительные точки: $x=0$ (склейка), $x=\pi$ ($\pi-x=0$, $f(\pi)$ не определено). Вне — непрерывна.

$x=0$: $f(0)=\operatorname{arctg}1=\frac\pi4$; $f(0-0)=\lim\limits_{x\to0-}\frac{\sin x}x=1$; $f(0+0)=\frac\pi4$. Пределы конечны и различны ⇒ I рода, скачок, $\Delta f=\left|\frac\pi4-1\right|=1-\frac\pi4\approx0{,}215$.

$x=\pi$: $x\to\pi-$: $\pi-x\to0+$, $\frac\pi{\pi-x}\to+\infty$, $\operatorname{arctg}\to\frac\pi2$. $x\to\pi+$: $\to-\infty$, $\operatorname{arctg}\to-\frac\pi2$. ⇒ I рода, скачок (ловушка: «деление на ноль», но $\operatorname{arctg}$ ограничен), $\Delta f=\pi$.

График: в $0$: слева ветвь подходит снизу к выколотой точке $(0;1)$ ($\frac{\sin x}x<1$), справа начинается закрашенная точка $(0;\frac\pi4)$, функция растёт. В $\pi$: слева подходит снизу к выколотой $(\pi;\frac\pi2)$; справа выходит из выколотой $(\pi;-\frac\pi2)$ и растёт к $0$ при $x\to+\infty$. Пунктиры $y=\pm\frac\pi2$.