4. Окрестности конечной и бесконечной точек

л. 1–2 · вопросы РК: A1, A2, A3, A4, A5

Прочитано

Определения

Пусть $x_0\in R$ , $\varepsilon$ — эпсилон, $\delta$ — дельта.

Определение 1. Окрестностью произвольной точки на числовой прямой называется любой интервал, содержащий эту точку. Обозначение: $S$ .

Определение 2. $\varepsilon$ -окрестностью точки $x_0$ называется интервал длиной $2\varepsilon$ с центром в точке $x_0$ :
$S_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon,\ x_0+\varepsilon).$

Определение 3. Проколотой $\varepsilon$ -окрестностью точки $x_0$ называется окрестность этой точки, из которой исключена сама точка $x_0$ :
$\overset{\circ}{S}_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon,\ x_0)\cup(x_0,\ x_0+\varepsilon).$

Определение 4. Правосторонней $\varepsilon$ -окрестностью точки $x_0$ называется полуинтервал
$S^+_\varepsilon(x_0)=[x_0,\ x_0+\varepsilon).$

Определение 5. Проколотой правосторонней $\varepsilon$ -окрестностью точки $x_0$ называется интервал
$\overset{\circ}{S}{}^+_\varepsilon(x_0)=(x_0,\ x_0+\varepsilon).$

В слайде 20 формулировка сбита: «…окрестностью называются точки $x_0$ называется интервал вида». Выше — исправленный вариант.

Определение 6. Левосторонней $\varepsilon$ -окрестностью точки $x_0$ называется полуинтервал
$S^-_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon,\ x_0].$

Определение 7. Проколотой левосторонней $\varepsilon$ -окрестностью точки $x_0$ называется интервал
$\overset{\circ}{S}{}^-_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon,\ x_0).$

Определение 8. Окрестностью $+\infty$ называется интервал
$S(+\infty)=(M,+\infty)=\{x\in R:\ x>M\},\quad \text{где } \forall M\in R,\ M>0.$

Определение 9. Окрестностью $-\infty$ называется интервал
$S(-\infty)=(-\infty,-M)=\{x\in R:\ x<-M\},\quad \text{где } \forall M\in R,\ M>0.$

Определение 10. Окрестностью $\infty$ называется множество
$S(\infty)=\{x\in R:\ |x|>M\}=(-\infty,-M)\cup(M,+\infty),\quad \text{где } \forall M\in R,\ M>0.$
Окрестность бесконечности — внешность какого-либо отрезка; $S(\infty)=S(+\infty)\cup S(-\infty)$ .

«Где $\forall M\in R,\ M>0$ » означает: каждое положительное $M$ задаёт свою окрестность.

Двусторонние окрестности: $S_\varepsilon(x_0)$ , $\overset{\circ}{S}_\varepsilon(x_0)$ , $S(\infty)$ .

Односторонние окрестности: $S^+_\varepsilon(x_0)$ , $S^-_\varepsilon(x_0)$ , $\overset{\circ}{S}{}^+_\varepsilon(x_0)$ , $\overset{\circ}{S}{}^-_\varepsilon(x_0)$ , $S(+\infty)$ , $S(-\infty)$ .

Число $\varepsilon$ называется радиусом окрестности.

Теоремы

В лекциях по этой теме теорем нет. Ниже два свойства не из лекций, которые молча используются в доказательствах следующих тем: шаг «выберем $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$ » и выбор $\varepsilon$ в теоремах единственности.

Свойство 1 (пересечение окрестностей одной точки).
$S_{\delta_1}(x_0)\cap S_{\delta_2}(x_0)=S_\delta(x_0),\quad \delta=\min(\delta_1,\delta_2).$
То же верно для проколотых и односторонних окрестностей. Для $+\infty$ : $S(+\infty)$ с $M_1$ и $M_2$ пересекаются по окрестности с $M=\max(M_1,M_2)$ .

Свойство 2 (отделимость точек). Если $a<b$ и $\varepsilon=\dfrac{b-a}{2}$ , то $S_\varepsilon(a)\cap S_\varepsilon(b)=\varnothing$ .

Доказательства

Свойство 1

$x\in S_{\delta_1}(x_0)\cap S_{\delta_2}(x_0)\iff |x-x_0|<\delta_1\ \wedge\ |x-x_0|<\delta_2\iff |x-x_0|<\min(\delta_1,\delta_2)=\delta\iff x\in S_\delta(x_0).$

Для $+\infty$ : $x>M_1\wedge x>M_2\iff x>\max(M_1,M_2)$ .

Свойство 2

$S_\varepsilon(a)=\left(a-\varepsilon,\ \dfrac{a+b}{2}\right)$ , $\quad S_\varepsilon(b)=\left(\dfrac{a+b}{2},\ b+\varepsilon\right)$ , так как $a+\varepsilon=b-\varepsilon=\dfrac{a+b}{2}$ . Правый конец первого интервала совпадает с левым концом второго, оба конца не включены, значит общих точек нет.

Рабочие формулы: окрестности как неравенства

Окрестность	Промежуток	Неравенство
$S_\delta(x_0)$	$(x_0-\delta,\ x_0+\delta)$	$\lvert x-x_0\rvert<\delta$ не из лекций
$\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)$	$(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$	$0<\lvert x-x_0\rvert<\delta$
$S^+_\delta(x_0)$	$[x_0,\ x_0+\delta)$	$0\le x-x_0<\delta$ (см. ниже)
$\overset{\circ}{S}{}^+_\delta(x_0)$	$(x_0,\ x_0+\delta)$	$0<x-x_0<\delta$
$S^-_\delta(x_0)$	$(x_0-\delta,\ x_0]$	$0\le x_0-x<\delta$ (см. ниже)
$\overset{\circ}{S}{}^-_\delta(x_0)$	$(x_0-\delta,\ x_0)$	$0<x_0-x<\delta$
$S(+\infty)$ для $x$	$(N,+\infty)$	$x>N$
$S(-\infty)$ для $x$	$(-\infty,-N)$	$x<-N$
$S(\infty)$ для $x$	$(-\infty,-N)\cup(N,+\infty)$	$\lvert x\rvert>N$
$S(+\infty)$ для $f(x)$	$(M,+\infty)$	$f(x)>M$
$S(-\infty)$ для $f(x)$	$(-\infty,-M)$	$f(x)<-M$
$S(\infty)$ для $f(x)$	$(-\infty,-M)\cup(M,+\infty)$	$\lvert f(x)\rvert>M$

Здесь $N,M\in R$ , $N>0$ , $M>0$ .

В лекции 6 (слайды 3 и 5) у непроколотых односторонних окрестностей нижняя граница потеряна: написано $S^+_\delta(x_0):\ x-x_0<\delta$ и $S^-_\delta(x_0):\ x_0-x<\delta$ . Без условия $0\le\dots$ это луч, а не полуинтервал. Правильно: $0\le x-x_0<\delta$ и $0\le x_0-x<\delta$ , что и соответствует промежуткам $[x_0,x_0+\delta)$ и $(x_0-\delta,x_0]$ , указанным на тех же слайдах.

Три равносильные записи проколотой окрестности (л. 3–4, сл. 17):
$\forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\quad\iff\quad \forall x:\ 0<|x-x_0|<\delta\quad\iff\quad \forall x,\ x\ne x_0:\ |x-x_0|<\delta.$

Буквы для бесконечности. В лекциях 1–2 радиус окрестности бесконечности обозначен $M$ . В лекции 6 для аргумента используется $N$ ( $x>N$ ), для значений функции — $M$ ( $f(x)>M$ ). Дальше в определениях пределов: $N$ — для $x$ , $M$ — для $f(x)$ .

Алгоритм типовых задач не из лекций

Задач на эту тему в слайдах нет; ниже типовые действия, которые нужны в следующих темах.

А. Записать окрестность промежутком и неравенством.

Определить точку: конечная $x_0$ или $+\infty$ , $-\infty$ , $\infty$ .
Определить вид: двусторонняя или односторонняя (справа/слева).
Определить, проколотая ли (точка $x_0$ исключена или нет).
Записать промежуток по определениям 2–10.
Перевести в неравенство по таблице.

Б. Найти наибольший $\delta$ , при котором $S_\delta(x_0)\subseteq(a,b)$ , где $a<x_0<b$ .

Найти расстояния до концов: $x_0-a$ и $b-x_0$ .
$\delta=\min(x_0-a,\ b-x_0)$ .

Разобранный пример

Задача.

Записать $S_{0{,}1}(2)$ , $\overset{\circ}{S}_{0{,}1}(2)$ , $S^+_{0{,}1}(2)$ , $\overset{\circ}{S}{}^-_{0{,}1}(2)$ промежутками и неравенствами.
Найти наибольший $\delta$ : $S_\delta(2)\subseteq(1;\ 2{,}5)$ .
Записать $S(\infty)$ при $M=3$ .

Решение

Точка конечная, $x_0=2$ , $\delta=0{,}1$ :
$S_{0{,}1}(2)=(1{,}9;\ 2{,}1)$ , $\ |x-2|<0{,}1$ ;
$\overset{\circ}{S}_{0{,}1}(2)=(1{,}9;\ 2)\cup(2;\ 2{,}1)$ , $\ 0<|x-2|<0{,}1$ ;
$S^+_{0{,}1}(2)=[2;\ 2{,}1)$ , $\ 0\le x-2<0{,}1$ ;
$\overset{\circ}{S}{}^-_{0{,}1}(2)=(1{,}9;\ 2)$ , $\ 0<2-x<0{,}1$ .
$x_0-a=2-1=1$ , $\ b-x_0=2{,}5-2=0{,}5$ , значит $\delta=\min(1;\ 0{,}5)=0{,}5$ : $S_{0{,}5}(2)=(1{,}5;\ 2{,}5)\subseteq(1;\ 2{,}5)$ .
$S(\infty)=\{x:\ |x|>3\}=(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$ .

Типичные ошибки

Путать $S^+_\varepsilon(x_0)=[x_0,x_0+\varepsilon)$ , где $x_0$ включена, и $\overset{\circ}{S}{}^+_\varepsilon(x_0)=(x_0,x_0+\varepsilon)$ , где не включена.
Записывать проколотую окрестность как $|x-x_0|<\delta$ без условия $0<|x-x_0|$ : так получается непроколотая.
Записывать окрестность $\infty$ как $(M,+\infty)$ . Это окрестность $+\infty$ ; окрестность $\infty$ — объединение двух лучей, $|x|>M$ .
Считать длину $\varepsilon$ -окрестности равной $\varepsilon$ : длина $2\varepsilon$ , $\varepsilon$ — радиус.
Путать буквы в лекции 6: $N$ ограничивает аргумент, $M$ — значения функции.
Списывать со слайдов 3 и 5 лекции 6 неравенства $x-x_0<\delta$ и $x_0-x<\delta$ без нижней границы $0\le$ .

Прочитано