Подозрительные точки: $x=-1$ (знаменатель) и $x=1$ (стык).

$x=-1$ . $f(-1)$ не определена.
$x\to-1^-$ : $\dfrac{x}{x+1}\to+\infty$ (числитель $-1$ , знаменатель $\to0^-$ ), значит $2^{\frac x{x+1}}\to+\infty$ .
$x\to-1^+$ : знаменатель $\to0^+$ , $\dfrac x{x+1}\to-\infty$ , значит $f\to0$ .
Левый предел бесконечен — разрыв 2-го рода.

$x=1$ . Слева: $f(1)=2^{1/2}=\sqrt2$ , левый предел $\sqrt2$ .
Справа: $\cos\dfrac1{x-1}$ при $x\to1^+$ колеблется: для $x_n=1+\frac1{2\pi n}$ значение $1$ , для $x_n=1+\frac1{\pi+2\pi n}$ значение $-1$ . Предела справа нет — разрыв 2-го рода.

График: около $x=-1$ слева ветвь уходит вверх к $+\infty$ , справа прижимается к оси ( $y\to0$ ); около $x=1$ слева график входит в точку $(1;\sqrt2)$ , справа бесконечно часто колеблется между $-1$ и $1$ .
Ответ: разрывы в $x=-1$ и $x=1$ , оба 2-го рода.

Материалы