Расхождения со слайдами

• Как в слайдах. Теорема 6: «Если $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, а $\lim\limits_{y\to a}\varphi(y)=c$, то $\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(f(x))=c$». В доказательстве предел $\varphi$ расписан как $\forall\varepsilon_1\ \exists\delta_1:\ |y-a|<\delta_1\Rightarrow|\varphi(y)-c|<\varepsilon_1$ — с непроколотой окрестностью.
• Как правильно. По определению предела должно быть $0<|y-a|<\delta_1$. Если $f(x)$ принимает значение $a$ сколь угодно близко к $x_0$, цепочка рвётся, и теорема в такой формулировке неверна.

Контрпример: $f(x)\equiv0$ (так что $a=0$), $\ \varphi(y)=\begin{cases}1,&y\ne0,\\0,&y=0.\end{cases}$
Тогда $\lim\limits_{y\to0}\varphi(y)=1=c$, но $\varphi(f(x))=\varphi(0)=0$, т. е. $\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(f(x))=0\ne1$.

Два условия починки (достаточно одного):

1. $f(x)\ne a$ для всех $x$ из некоторой $\overset{\circ}{S}(x_0)$. Тогда $0<|f(x)-a|<\delta_1$, и определение предела $\varphi$ применимо.
2. $\varphi$ непрерывна в точке $a$: $\varphi(a)=c$. Тогда $|\varphi(y)-c|<\varepsilon$ верно и при $y=a$, проколотость не нужна. Именно так сформулирована теорема 2 в л. 9 («$g(y)$ непрерывна в $y_0$»).

• На РК. Доказательство — как на слайде. Если спросят «почему так нельзя / где пробел»: назвать выколотую точку $y=a$, привести контрпример и одно из условий. При замене переменной в пределах (замечательные пределы) условие 1 выполнено: например, $t=\arcsin x\ne0$ при $x\ne0$.

• Слайды: «$\varnothing\subset A$» (строгое включение) для любого $A$.
• Правильно: $\varnothing\subseteq A$ для любого $A$; $\varnothing\subset A$ — только при $A\ne\varnothing$.
• РК: писать $\varnothing\subseteq A$; если пишешь как на слайде — с оговоркой $A\ne\varnothing$.

• Слайды: «Проколотой правосторонней $\varepsilon$-окрестностью называются точки $x_0$ называется интервал вида».
• Правильно: «Проколотой правосторонней $\varepsilon$-окрестностью точки $x_0$ называется интервал $(x_0,x_0+\varepsilon)$».
• РК: исправленная формулировка.

• Слайды: $S^+_\delta(x_0):\ x-x_0<\delta$; $\ S^-_\delta(x_0):\ x_0-x<\delta$.
• Правильно: $0\le x-x_0<\delta$; $\ 0\le x_0-x<\delta$ (без нижней границы это лучи).
• РК: с нижней границей.

• Слайды: последовательность — «множество числовых значений, которые можно перенумеровать».
• Правильно: функция натурального аргумента $n\mapsto x_n$ (значения могут повторяться).
• РК: можно формулировку лектора; если спросят про повторяющиеся члены — функция $\mathbb N\to R$.

• Слайды: пример невозрастающей $\{1,\frac12,\frac12,\frac13,\frac14,\frac14,\frac15,\dots,\frac1n,\dots\}$.
• Правильно: общий член не $\frac1n$; многоточие «$\dots,\frac1n,\dots$» лишнее.
• РК: не использовать «$\frac1n$» как общий член этого примера.

• Слайды: «Пример: $x_n=\frac1n$» после критерия Коши — без решения.
• Решение: в теме 6, пример 5 (фундаментальность, $n(\varepsilon)=[\frac1\varepsilon]+1$).
• РК: быть готовым решить.

• Слайды: без доказательства.
• Правильно: необходимость — в рамках лекций; достаточность требует Больцано–Вейерштрасса (нет в лекциях).
• РК: не ссылаться на Больцано–Вейерштрасса как на пройденное.

• Слайды: $M=\max\{|a+\varepsilon|,\ |a+\varepsilon|,\ |x_1|,\dots,|x_{n(\varepsilon)}|\}$; вывод «$\forall n:\ x_n\le M$».
• Правильно: $M=\max\{|a-\varepsilon|,\ |a+\varepsilon|,\ |x_1|,\dots,|x_{n(\varepsilon)}|\}$; вывод $|x_n|\le M$. Плюс шаг: при $n>n(\varepsilon)$ из $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$ следует $|x_n|<\max(|a-\varepsilon|,|a+\varepsilon|)$.
• РК: исправленный вариант с модулем.

• Слайды: без доказательства. Опирается на аксиому полноты (справочник «Полнота $R$»).

• Слайды: $\lim(1+\frac1n)^n=e$ — только заявлено; монотонность и ограниченность не доказаны.
• РК: формулировка; доказательство — в конспекте под спойлером, если спросят.

• Слайды: $\forall\{x_n\}\in D_f:\ \lim x_n=x_0\Rightarrow\lim f(x_n)=a$.
• Правильно: $\forall\{x_n\}:\ x_n\in D_f,\ \boldsymbol{x_n\ne x_0},\ \lim x_n=x_0\Rightarrow\lim f(x_n)=a$. Без $x_n\ne x_0$ не согласуется с Коши (контрпример: $f=1$ при $x\ne0$, $f(0)=0$).
• РК: с условием $x_n\ne x_0$.

• Слайды: (а) «По теореме о единственности предела функции…» в примере с $\cos x$; (б) «Равенство доказано»; (в) «…по Коши и по Гейне при $x\to x_0$ эквивалентности».
• Правильно: (а) по сути — единственность предела последовательности (тема 7); (б) доказано несуществование предела; (в) «эквивалентны».
• РК: «по определению Гейне и единственности предела последовательности предела нет».

• Сл. 30: «Раскрываем модель» → «модуль».
• Сл. 42: «для $\forall x\in\overset{\circ}{S}(x_0)$ имеет место неравенство $\lim F(x)\le0$» → квантор по $x$ лишний: просто $\lim\limits_{x\to x_0}F(x)\le0$.

• Слайды: $2a<f(x)<0$ при $a<0$, $\varepsilon=-a$.
• Верно как есть ($a-\varepsilon=2a$, $a+\varepsilon=0$). В моём первом разборе это было ошибочно названо неточностью.

См. «Главное: предел сложной функции» выше.

• Слайды: определения б.м.ф. и предела расписаны с $\forall x\in S_\delta(x_0)$ (непроколотая); локальная ограниченность (сл. 14) — тоже с $S_{\delta_2}(x_0)$.
• Правильно: $\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)$ — как в определении предела (л. 3–4) и локальной ограниченности (л. 3–4, опр. 7).
• РК: писать проколотую.

• Слайды: «по следствию 1 из теоремы 3» (сумма б.м.), «по следствию 2 из теоремы 3» ($k\cdot\beta$), «по теореме 1 получаем» (финал).
• Правильно: сумма б.м. — теорема 1; $k\cdot\beta$ — следствие 2 из теоремы 2; $\alpha\cdot\beta$ — следствие 1 из теоремы 2; финал — теорема 3 (связь функции, предела и б.м.ф.).
• РК: называть свойство словами, не номером.

• Слайды: из $\frac fg-\frac ab=\frac1{b^2+b\beta}(b\alpha-a\beta)$ и «$b\alpha,\ a\beta,\ b\beta$ — б.м.ф.» сразу вывод «$\frac fg-\frac ab$ — б.м.ф.».
• Правильно: нужно показать, что $\frac1{b^2+b\beta(x)}$ локально ограничена: $b^2+b\beta\to b^2>0$, по сохранению знака $b^2+b\beta>\frac{b^2}2$ около $x_0$, значит $\left|\frac1{b^2+b\beta}\right|<\frac2{b^2}$. Тогда б.м. × ограниченная = б.м.
• РК: вставить этот шаг. Это хороший ответ на «а почему дробь не портит б.м.?».

• Слайды: теорема о связи двустороннего и односторонних пределов — без доказательства (кадры пустые).
• РК: формулировка; идея доказательства — в конспекте.

• Слайды: в таблицах для $x\to\infty$, $x\to+\infty$, $x\to-\infty$ в строках $\infty$, $-\infty$, $+\infty$: «$\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x:\ |x|>N\Rightarrow\dots$» — буква $N$ не введена.
• Правильно: $\exists N(M)>0$. Так у самого лектора на сл. 27.
• РК: $N(M)$.

• Слайды: в каждой таблице строки $a$ и $b$ одинаковы с точностью до буквы.
• Правильно: это одно и то же определение для конечного предела.
• РК: достаточно строки $a$; если требуют «как в таблице» — продублировать.

• Слайды: вывод «$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)$: $\left|\frac1\alpha\right|>M$, где $M=\frac1\varepsilon$» — квантор стоит по $\varepsilon$, а в определении б.б.ф. — по $M$.
• Правильно: для произвольного $M>0$ взять $\varepsilon=\frac1M$, $\delta(M)=\delta(\frac1M)$.
• РК: добавить эту фразу в конце доказательства.

• Слайды: $S_{\text{сек }OKA}=\frac12\cdot OK\cdot OA\cdot KA$, на чертеже (сл. 6) $KA$ — хорда.
• Правильно: $KA$ здесь — длина дуги $\overset{\frown}{KA}=x$; $S_{\text{сек}}=\frac12R^2x$.
• РК: писать $\overset{\frown}{KA}$ или сразу $\frac12R^2x=\frac12x$.

• Слайды: из $\cos x<\frac{\sin x}x<1$ «по теореме о предельном переходе в неравенстве: $1\le\lim\frac{\sin x}x\le1$», потом «по теореме о промежуточной функции».
• Правильно: теорема о предельном переходе требует существования пределов — а оно и доказывается. Достаточно одной теоремы о промежуточной функции. Плюс $\lim\limits_{x\to0}\cos x=1$ на слайдах не обоснован; без круга: $0\le1-\cos x=2\sin^2\frac x2\le\frac{x^2}2$.
• РК: сразу «по теореме о пределе промежуточной функции»; если спросят про $\cos x\to1$ — оценка выше.

• Слайды: деление на $a\cdot x$ без оговорки.
• Правильно: при $a\ne0$; случай $a=0$ тривиален.
• РК: оговорить $a\ne0$.

• Слайды: теорема $\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e$ без доказательства (кадр 19 пустой); «как известно передел последовательности».
• РК: формулировка; доказательство через $n=[x]$ — в конспекте.

• Слайды: следствие 5: «сводим к уже рассмотренному выше пятому следствию».
• Правильно: к четвёртому ($\frac{\log_a(1+t)}t\to\frac1{\ln a}$).
• РК: «к четвёртому следствию».

• Слайды: опр. 1 — сравнимы, если существует один из пределов $\frac fg$, $\frac gf$; опр. 2 — несравнимы, если не существует $\lim\frac fg$. Пример: $f=x$, $g=x\sin\frac1x$.
• Правильно: несравнимы, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела $\frac fg$. В примере $g$ обращается в $0$ в точках $\frac1{\pi n}\to0$ — отношение не определено ни в какой проколотой окрестности. Корректный пример: $g=x\left(2+\sin\frac1x\right)$.
• РК: формулировка «предел отношения не существует (ни конечный, ни бесконечный)»; пример — корректный.

• Слайды: $f=O(g)$ означает «одного порядка» ($\lim\frac fg=a\ne0$).
• В других источниках: $O(g)$ — «$\frac fg$ ограничено» (слабее).
• РК: определение словами через предел; значок — как у лектора.

• Слайды: $a_1x+\dots+a_nx^n\sim a_1x$; $a_0+\dots+a_nx^n\sim a_nx^n$ ($x\to\infty$) — без условий.
• Правильно: $a_1\ne0$; $a_n\ne0$.

• Опр. 1, слайды: «функцию, не являющуюся непрерывной в $x_0$…» — РК: добавить «определённую в проколотой окрестности $x_0$».
• Опр. 2, слайды: «если существуют конечные пределы функции в точке $x_0$» — РК: «конечные односторонние пределы».
• Опр. 4, слайды: устранимый — пределы равны, «но значение функции в точке $x_0$ не существует» — правильно (шире): не определено или $f(x_0)\ne\lim f$. РК: расширенный вариант.

• Слайды: $\operatorname{sgn}x=\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\end{cases}$ — значение в нуле не задано.
• Правильно: обычно $\operatorname{sgn}0=0$; вывод $\operatorname{sgn}x\notin C(0)$ верен в любом случае (односторонние пределы $\pm1$ различны).

• Слайды: «непрерывна в каждой точке этого интеграла» (обе версии лекции; в «9 old» — ещё на сл. 12–14).
• Правильно: «интервала».
• РК: «интервала».

• Слайды: доказательство теоремы 2 о непрерывной внешней функции ссылается на «теорему о пределе сложной функции» (тема 11, теорема 6), которая в лекции сформулирована без условия $f(x)\ne y_0$ вблизи $x_0$.
• Правильно: ссылка допустима, потому что $g$ непрерывна в $y_0$; строгая запись без ссылки на теорему 6 — в теме 26 не из лекций.
• РК: вне РК; на экзамене можно ссылаться на теорему 2 как на «предел переходит под знак непрерывной функции».

• Слайды: для $x\in\left(-\frac\pi2;0\right)$ написано $\sin x<x$.
• Правильно: при $x<0$ верно $\sin x>x$; верно $|\sin x|<|x|$ (нечётность синуса). Вывод $|\sin x|\le|x|$ остаётся правильным.

• Слайды: краткая запись первой теоремы Вейерштрасса: $f\in C([a,b])\Rightarrow\exists M>0:\ |f(x)|\le M$ без $\forall x\in[a,b]$.
• Правильно: $\exists M>0\ \forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M$.

• Слайды: в теореме об обратной функции интервал значений обозначен $(a,b)$, как и интервал аргументов.
• Правильно: интервал значений другой: $f((a,b))=(\alpha,\beta)$, где $\alpha=\inf f$, $\beta=\sup f$.