На чём валятся

Ловушка: подставить в $\frac{|D_1-D_2|}{|\vec n|}$ числа $-1$ и $1$ из уравнений $2x-4y-2z-1=0$ и $3x-6y-3z+1=0$ как есть.
Правильно: сначала привести к одинаковым коэффициентам при $x,y,z$ (поделить на $2$ и $3$), тогда $D_1=-\frac12$, $D_2=\frac13$, ответ $\frac{5\sqrt6}{36}$.

Ловушка: не проверить взаимное расположение. Направление второй прямой $\{-1,-2,-3\}\parallel\{1,2,3\}$ — прямые параллельны.
Правильно: расстояние от точки одной прямой до другой: $\sqrt{83/14}$.

Ловушка: считать $\frac{x-1}0$ бессмысленным или «бесконечностью».
Правильно: это условие $x-1=0$; направляющий вектор $\{0,1,1\}$ вполне законный.

Ловушка: посчитать $\cos$ угла между $\vec s$ и $\vec n$ и выдать его за ответ.
Правильно: $\sin\varphi=\frac{|\vec s\cdot\vec n|}{|\vec s||\vec n|}$ — нормаль перпендикулярна плоскости, поэтому угол дополняет до $\frac\pi2$.

Ловушка: прочитать её как $3x+4y+12z=0$ и взять $|\vec n_3|=13$.
Правильно: $\vec n_3=\{3,4,0\}$, $|\vec n_3|=5$; ответ $\left(-\frac{19}6,-\frac56,0\right)$, расстояние $\frac16$.

Ловушка: взять любой знак в $\frac{f_1}{|\vec n_1|}=\pm\frac{f_2}{|\vec n_2|}$.
Правильно: точка в остром угле $\iff f_1f_2(\vec n_1\cdot\vec n_2)<0$. Биссектор острого угла: знак «$+$», если $\vec n_1\cdot\vec n_2<0$; «$-$», если $>0$. Проверка: угол биссектора с плоскостью равен половине нужного угла.

Ловушка: сразу соединить $A$ и $B$ и искать пересечение с плоскостью — его нет (или оно не даёт минимума).
Правильно: $f(A)=f(B)=83>0$ — одна сторона; отразить $A$ и соединить $A'$ с $B$. Ответ $(13,4,-9)$.

Ловушка: взять за направляющий вектор нормаль одной из плоскостей.
Правильно: $\vec s=\vec n_1\times\vec n_2$; точку найти, задав одну координату (например, $z=0$).

Ловушка: искать одну плоскость, перпендикулярную обеим данным. Нормаль такой плоскости $\perp\vec n_1,\vec n_2$, но плоскость из пучка содержит их линию пересечения — такое невозможно.
Правильно: две разные плоскости: одна $\perp\Pi_1$, другая $\perp\Pi_2$.

Ловушка: ответить углом между нормалями $\arccos\frac13\approx70{,}5^\circ$.
Правильно: внутренний двугранный угол правильного октаэдра тупой: $\pi-\arccos\frac13=\arccos(-\frac13)\approx109{,}5^\circ$.

Ловушка: брать проекцию на прямую без учёта точки $M_0$: $t=\frac{\vec P\cdot\vec s}{|\vec s|^2}$.
Правильно: $t^*=\frac{\overrightarrow{M_0P}\cdot\vec s}{|\vec s|^2}$, $H=M_0+t^*\vec s$.

Тривиальная комбинация равна нулю для любой системы. Обязательно: «существует набор, не все $\lambda_i$ которого равны нулю».

Определение через три условия работает только для неколлинеарных. Добавь: если $\vec a\parallel\vec b$, то $\vec a\times\vec b=\vec 0$.

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ включает и совпадение; для различных добавь $\ne\frac{D_1}{D_2}$.

Не «три вектора», а три некомпланарных вектора (упорядоченных).

Параллелограмм $OA'CB'$ строится только при $\vec a\nparallel\vec b$; случай $\vec a\parallel\vec b$ закрыть критерием для двух векторов.

Без этого шага делить на $\alpha_0$ нельзя. Аргумент: иначе $\alpha_1\vec e_1+\alpha_2\vec e_2+\alpha_3\vec e_3=\vec 0$ нетривиально — базис ЛЗ.

$x_ax_b+y_ay_b+z_az_b$, определитель для $\vec a\times\vec b$ и для $\vec a\vec b\vec c$ верны в (правом) ортонормированном базисе. Для векторного и смешанного важно, что базис правый.

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ в пространстве — уравнение плоскости: перпендикулярных прямой векторов бесконечно много, одной нормалью прямая в пространстве не задаётся. Для прямой на плоскости слагаемых два: $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$.

В нормальном уравнении прямой или плоскости $p\ge0$ — это расстояние от начала координат. Поэтому знак $\mu=\pm\frac1{|\vec n|}$ берут противоположным знаку свободного члена ($C$ для прямой, $D$ для плоскости). Пример: $3x-4y+15=0$, $\mu=-\frac15$, $p=3$.

Если $|M_1M|:|MM_2|=p:q$, то $M=\frac{q M_1+p M_2}{p+q}$: у $M_1$ стоит $q$, у $M_2$ — $p$ (точка ближе к тому концу, у которого коэффициент больше). Проверка: при $p=0$ получаем $M=M_1$.