1. Векторы и линейные операции

РК: А1 (равенство векторов), А2 (сумма и умножение на число), А3 (коллинеарность и компланарность).

Суть

Вектор — направленный отрезок, но равные векторы не различают по месту: его можно переносить параллельно. Поэтому операции определяют, откладывая векторы от удобной точки. Две операции — сложение и умножение на число — называются линейными; всё дальнейшее (зависимость, базис, координаты) строится на них.

Определения

Равенство (А1). Векторы $\vec a$ и $\vec b$ равны, если они коллинеарны, сонаправлены ($\vec a\uparrow\uparrow\vec b$) и их длины равны: $|\vec a|=|\vec b|$.
Нулевой вектор $\vec 0$ — вектор нулевой длины; направление у него не определено, все нулевые векторы равны.

Сумма (А2). Совместим начало $\vec b$ с концом $\vec a$; вектор $\vec c$ из начала $\vec a$ в конец $\vec b$ — сумма $\vec a+\vec b$ (правило треугольника). Равносильно: отложим $\vec a,\vec b$ из одной точки, $\vec a+\vec b$ — диагональ параллелограмма, выходящая из этой точки (правило параллелограмма, для неколлинеарных векторов).

Умножение на число (А2). Произведение ненулевого $\vec a$ на $\lambda\in\mathbb R$ — вектор $\lambda\vec a$, для которого

• $|\lambda\vec a|=|\lambda|\cdot|\vec a|$;
• $\lambda\vec a\uparrow\uparrow\vec a$ при $\lambda>0$, $\ \lambda\vec a\uparrow\downarrow\vec a$ при $\lambda<0$.

Если $\lambda=0$ или $\vec a=\vec 0$, то $\lambda\vec a=\vec 0$.

Коллинеарность (А3). Векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому.
Компланарность (А3). Три вектора компланарны, если лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Если среди трёх векторов есть нулевой или два коллинеарных — тройка компланарна.

Свойства линейных операций

Для любых $\vec a,\vec b,\vec c$ и чисел $\alpha,\beta$:

Это ровно восемь аксиом векторного пространства (тема 9): геометрические векторы — его частный случай.

Признак коллинеарности [не из конспекта]: ненулевой $\vec a$ и вектор $\vec b$ коллинеарны $\iff$ $\vec b=\lambda\vec a$ для некоторого $\lambda$. В координатах: координаты пропорциональны.

Как это проверяют в задачах

• Коллинеарность $\vec a=\{a_1,a_2,a_3\}$ и $\vec b$: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_3}{b_3}$ (нуль в знаменателе означает нуль в числителе), или $\vec a\times\vec b=\vec 0$.
• Компланарность трёх векторов: смешанное произведение равно нулю (тема 6).

Типичные ошибки

• Считать равными векторы одной длины, лежащие на параллельных прямых, но направленные противоположно. Нужна сонаправленность.
• Забыть, что нулевой вектор коллинеарен любому, а тройка с нулевым вектором компланарна.
• В определении $\lambda\vec a$ не оговорить случаи $\lambda=0$ и $\vec a=\vec 0$.