РК1›Тема 4. Проекция и скалярное произведение

4. Проекция и скалярное произведение

лекции: §4 · вопросы РК: А8, А9, А10, А11, А12, А15, Б3, Б4, Г3

РК: А8 (проекция), А9 (скалярное произведение), А10 (линейность), А11 (вычисление в ОНБ), А12 (косинус угла), А15 (симметричность — первая половина), Б3 (доказательство линейности), Б4 (вывод формулы в ОНБ); дополнение из лекций: Г3 (направляющие косинусы).

Суть

Скалярное произведение — число, которое «измеряет» вектор вдоль другого: ∣b⃗∣|\vec b| раз проекция a⃗\vec a на b⃗\vec b. Из него получаются длины, углы, перпендикулярность и, позже, расстояние от точки до плоскости. В ОНБ оно считается как сумма попарных произведений координат.

Определения

Ортогональная скалярная проекция (А8) вектора a⃗\vec a на направление вектора b⃗≠0⃗\vec b\ne\vec 0 — число
Пр⁡b⃗a⃗=∣a⃗∣cos⁡φ,φ=∠(a⃗,b⃗)∈[0,π].\operatorname{Пр}_{\vec b}\vec a=|\vec a|\cos\varphi,\qquad \varphi=\angle(\vec a,\vec b)\in[0,\pi].
Знак проекции: ++ при остром угле, −- при тупом, 00 при прямом.

baφПрb a = |a|·cos φ

Скалярное произведение (А9) векторов a⃗\vec a и b⃗\vec b — число
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡φ=∣b⃗∣Пр⁡b⃗a⃗=∣a⃗∣Пр⁡a⃗b⃗.\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi=|\vec b|\operatorname{Пр}_{\vec b}\vec a=|\vec a|\operatorname{Пр}_{\vec a}\vec b.
Если хотя бы один вектор нулевой, a⃗⋅b⃗=0\vec a\cdot\vec b=0.

Свойства

  1. Симметричность (А15): a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a (косинус чётный).
  2. Линейность (А10): (a⃗+b⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⋅c⃗(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c;  (λa⃗)⋅b⃗=λ(a⃗⋅b⃗)\ (\lambda\vec a)\cdot\vec b=\lambda(\vec a\cdot\vec b).
  3. Положительность: a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2≥0\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2\ge0, и =0  ⟺  a⃗=0⃗=0\iff\vec a=\vec 0.
  4. Ортогональность (теорема 4.1 лекций): два ненулевых вектора ортогональны   ⟺  a⃗⋅b⃗=0\iff\vec a\cdot\vec b=0.
  5. Знак и угол (лекции): a⃗⋅b⃗>0\vec a\cdot\vec b>0 — угол острый, =0=0 — прямой, <0<0 — тупой (знак совпадает со знаком cos⁡φ\cos\varphi).
Доказательство линейности (Б3)

Опора: a⃗⋅c⃗=∣c⃗∣Пр⁡c⃗a⃗\vec a\cdot\vec c=|\vec c|\operatorname{Пр}_{\vec c}\vec a и свойства ортогонального проектирования: проекция суммы равна сумме проекций, Пр⁡c⃗(λa⃗)=λПр⁡c⃗a⃗\operatorname{Пр}_{\vec c}(\lambda\vec a)=\lambda\operatorname{Пр}_{\vec c}\vec a.

Случай нулевого вектора (в лекциях разобран первым): если c⃗=0⃗\vec c=\vec 0, то обе части равенства (a⃗+b⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⋅c⃗(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c равны нулю; если b⃗=0⃗\vec b=\vec 0, то (λa⃗)⋅0⃗=0=λ(a⃗⋅0⃗)(\lambda\vec a)\cdot\vec 0=0=\lambda(\vec a\cdot\vec 0). Дальше векторы, на которые проектируем, ненулевые.

  1. (a⃗+b⃗)⋅c⃗=∣c⃗∣Пр⁡c⃗(a⃗+b⃗)=∣c⃗∣(Пр⁡c⃗a⃗+Пр⁡c⃗b⃗)=a⃗⋅c⃗+b⃗⋅c⃗.(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=|\vec c|\operatorname{Пр}_{\vec c}(\vec a+\vec b)=|\vec c|\left(\operatorname{Пр}_{\vec c}\vec a+\operatorname{Пр}_{\vec c}\vec b\right)=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c.
  2. (λa⃗)⋅b⃗=∣b⃗∣Пр⁡b⃗(λa⃗)=∣b⃗∣ λПр⁡b⃗a⃗=λ(a⃗⋅b⃗).(\lambda\vec a)\cdot\vec b=|\vec b|\operatorname{Пр}_{\vec b}(\lambda\vec a)=|\vec b|\,\lambda\operatorname{Пр}_{\vec b}\vec a=\lambda(\vec a\cdot\vec b).

Линейность по второму аргументу следует из симметричности. ■\blacksquare

Вычисление в ОНБ (А11, теорема 4.2 лекций)

a⃗⋅b⃗=xaxb+yayb+zazb.\vec a\cdot\vec b=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b.

Вывод (Б4)

Разложим по ОНБ: a⃗=xai⃗+yaj⃗+zak⃗\vec a=x_a\vec i+y_a\vec j+z_a\vec k, b⃗=xbi⃗+ybj⃗+zbk⃗\vec b=x_b\vec i+y_b\vec j+z_b\vec k. В ОНБ
i⃗⋅i⃗=j⃗⋅j⃗=k⃗⋅k⃗=1,i⃗⋅j⃗=j⃗⋅k⃗=k⃗⋅i⃗=0.\vec i\cdot\vec i=\vec j\cdot\vec j=\vec k\cdot\vec k=1,\qquad \vec i\cdot\vec j=\vec j\cdot\vec k=\vec k\cdot\vec i=0.
По линейности раскрываем скобки: получаются девять слагаемых xaxb(i⃗⋅i⃗)+xayb(i⃗⋅j⃗)+…x_ax_b(\vec i\cdot\vec i)+x_ay_b(\vec i\cdot\vec j)+\dots. Шесть смешанных обнуляются, три остаются:
a⃗⋅b⃗=xaxb+yayb+zazb. ■\vec a\cdot\vec b=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b.\ \blacksquare

Следствия (А12 и рабочие формулы)

ВеличинаФормула в ОНБ
длина∣a⃗∣=xa2+ya2+za2|\vec a|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}
косинус угла (А12)cos⁡φ=xaxb+yayb+zazbxa2+ya2+za2 xb2+yb2+zb2\cos\varphi=\dfrac{x_ax_b+y_ay_b+z_az_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}\,\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}} (векторы ненулевые)
проекцияПр⁡b⃗a⃗=a⃗⋅b⃗∣b⃗∣\operatorname{Пр}_{\vec b}\vec a=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}
перпендикулярностьxaxb+yayb+zazb=0x_ax_b+y_ay_b+z_az_b=0
направляющие косинусы (лекции)cos⁡α=xa∣a⃗∣\cos\alpha=\frac{x_a}{|\vec a|}, cos⁡β=ya∣a⃗∣\cos\beta=\frac{y_a}{|\vec a|}, cos⁡γ=za∣a⃗∣\cos\gamma=\frac{z_a}{|\vec a|}, cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1
орт (единичный вектор того же направления)a⃗ 0=a⃗∣a⃗∣={cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}\vec a^{\,0}=\dfrac{\vec a}{|\vec a|}=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}

Направляющие косинусы и орт (лекции, Г3)

В ОНБ координата вектора — его проекция на ось: x1=Пр⁡i⃗x⃗=∣x⃗∣cos⁡αx_1=\operatorname{Пр}_{\vec i}\vec x=|\vec x|\cos\alpha, x2=∣x⃗∣cos⁡βx_2=|\vec x|\cos\beta, x3=∣x⃗∣cos⁡γx_3=|\vec x|\cos\gamma, где α,β,γ\alpha,\beta,\gamma — углы вектора с i⃗,j⃗,k⃗\vec i,\vec j,\vec k. Числа cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma — направляющие косинусы. Подставив в ∣x⃗∣2=x12+x22+x32|\vec x|^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2, получаем cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1. Направляющие косинусы — это координаты орта x⃗ 0=x⃗/∣x⃗∣\vec x^{\,0}=\vec x/|\vec x|.

Пример: a⃗={1,2,2}\vec a=\{1,2,2\}, ∣a⃗∣=3|\vec a|=3, орт {13,23,23}\left\{\frac13,\frac23,\frac23\right\}; проверка: 19+49+49=1\frac19+\frac49+\frac49=1.

Пример. a⃗={1,2,2}\vec a=\{1,2,2\}, b⃗={3,0,4}\vec b=\{3,0,4\}. Найти угол и Пр⁡b⃗a⃗\operatorname{Пр}_{\vec b}\vec a.

Решение

a⃗⋅b⃗=3+0+8=11\vec a\cdot\vec b=3+0+8=11, ∣a⃗∣=3|\vec a|=3, ∣b⃗∣=5|\vec b|=5.
cos⁡φ=1115\cos\varphi=\frac{11}{15}, φ=arccos⁡1115\varphi=\arccos\frac{11}{15};  Пр⁡b⃗a⃗=115\ \operatorname{Пр}_{\vec b}\vec a=\frac{11}{5}.

Типичные ошибки

  • Путать проекцию (число со знаком) с вектором-проекцией a⃗⋅b⃗∣b⃗∣2b⃗\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\vec b.
  • Считать формулу xaxb+yayb+zazbx_ax_b+y_ay_b+z_az_b верной в любом базисе. Она верна только в ОНБ.
  • Делить на ∣b⃗∣|\vec b|, не проверив b⃗≠0⃗\vec b\ne\vec 0; в формуле косинуса оба вектора ненулевые.