7. Плоскость в пространстве

РК: А22 (общее уравнение и уравнение в отрезках), А23 (через три точки), А24 (взаимное расположение), А25 (расстояние от точки), Б8 (вывод формулы расстояния); дополнения из лекций: Г10 (нормальное уравнение), Г11 (расстояние между параллельными плоскостями). Задачи 416–424, 431–448, 454–459.

Суть

Плоскость задаётся точкой $M_0$ и нормалью $\vec n\perp$ плоскости: точка $M$ лежит в плоскости $\iff\vec n\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$. Раскрыв скалярное произведение, получаем линейное уравнение $Ax+By+Cz+D=0$, где $\{A,B,C\}=\vec n$. Почти любая задача сводится к поиску одной точки и нормали.

Уравнения плоскости

Через точку и нормаль (лекции, §10, задача 3; с него начинаются задачи):
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,\qquad \vec n=\{A,B,C\}\ne\vec 0.$$

Общее (А22): $Ax+By+Cz+D=0$, $\ \vec n=\{A,B,C\}\perp$ плоскости.
Частные случаи: $D=0$ — проходит через начало координат; $C=0$ — параллельна оси $Oz$ (нет $z$); $A=B=0$ — параллельна $Oxy$.

В отрезках (А22): $\dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=1$, где $a,b,c$ — отрезки, отсекаемые на осях $Ox,Oy,Oz$ (все $\ne0$, плоскость не проходит через начало).

Через три точки (А23) $M_1,M_2,M_3$, не лежащие на одной прямой: векторы $\overrightarrow{M_1M},\overrightarrow{M_1M_2},\overrightarrow{M_1M_3}$ компланарны:
$$\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{vmatrix}=0.$$

Через точку и два неколлинеарных вектора $\vec m_1=\{a_1,b_1,c_1\}$, $\vec m_2=\{a_2,b_2,c_2\}$ (лекции, опр. 10.1). Точка $M$ в плоскости $\iff\overrightarrow{M_0M}=u\vec m_1+v\vec m_2$; по координатам — параметрические уравнения:
$$x=x_0+ua_1+va_2,\qquad y=y_0+ub_1+vb_2,\qquad z=z_0+uc_1+vc_2,\qquad u,v\in\mathbb R.$$
Иначе: $\overrightarrow{M_0M},\vec m_1,\vec m_2$ компланарны, то есть
$$\begin{vmatrix}x-x_0&y-y_0&z-z_0\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}=0.$$
Раскрыв определитель по первой строке, получаем общее уравнение (опр. 10.2): коэффициенты $A,B,C$ — миноры, то есть $\vec n=\vec m_1\times\vec m_2$. Уравнение через три точки — частный случай: $\vec m_1=\overrightarrow{M_1M_2}$, $\vec m_2=\overrightarrow{M_1M_3}$.

Векторные уравнения (лекции): $(\vec r-\vec r_0)\cdot\vec n=0$ или $\vec r=\vec r_0+u\vec m_1+v\vec m_2$, где $\vec r_0=\overrightarrow{OM_0}$, $\vec r=\overrightarrow{OM}$ — радиус-векторы.

Нормальное уравнение плоскости (лекции, опр. 10.7; Г10)

В прямоугольной СК пусть $\vec n^{\,0}=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}$ — единичная нормаль, направленная от начала координат к плоскости, $p\ge0$ — расстояние от $O$ до плоскости. Тогда
$$x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0.$$
Почему: для любой точки $M$ плоскости $\overrightarrow{OM}\cdot\vec n^{\,0}=\operatorname{Пр}_{\vec n^{0}}\overrightarrow{OM}=p$ — проекция радиус-вектора на нормаль одна и та же, это и есть расстояние от $O$.

Как получить из общего: умножить $Ax+By+Cz+D=0$ на нормирующий множитель
$$\mu=\pm\frac1{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\qquad \text{знак }\mu\text{ противоположен знаку }D$$
(тогда свободный член $\mu D=-p\le0$). При $D=0$ знак любой.

Пример. $2x-y+2z+6=0$: $|\vec n|=3$, $D>0$, значит $\mu=-\frac13$: $\ -\frac23x+\frac13y-\frac23z-2=0$, $p=2$ — плоскость в двух единицах от начала.

Взаимное расположение двух плоскостей (А24)

Пусть $\vec n_1=\{A_1,B_1,C_1\}$, $\vec n_2=\{A_2,B_2,C_2\}$.

Расстояние от точки до плоскости (А25)

$$\rho(M_0,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

Через нормальное уравнение (так выводит лектор, §12): подставив точку в левую часть нормального уравнения, получаем отклонение $\delta=x_0\cos\alpha+y_0\cos\beta+z_0\cos\gamma-p$, и $\rho=|\delta|$. Это та же формула: $\delta=\mu(Ax_0+By_0+Cz_0+D)$.

Знак $f(M)=Ax+By+Cz+D$ показывает, с какой стороны плоскости лежит точка: точки с одинаковым знаком — по одну сторону [не из конспекта; нужно в задачах 434, 443–449].

Расстояние между параллельными плоскостями (Г11) $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$ (коэффициенты при $x,y,z$ одинаковые):
$$\rho=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$
Если коэффициенты пропорциональны, $A_1=kA_2$, $B_1=kB_2$, $C_1=kC_2$, формула из лекций (§11) делит первое уравнение на $k$:
$$\rho=\frac{\left|\frac{D_1}{k}-D_2\right|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$$
Пример (задача 438): $2x-4y-2z-1=0$ и $3x-6y-3z+1=0$, $k=\frac23$: $\ \rho=\frac{|-\frac32-1|}{\sqrt{54}}=\frac{5\sqrt6}{36}$.

Пучок плоскостей и биссекторные плоскости [не из конспекта; задачи 424, 441–447, 456]

Пучок — все плоскости, проходящие через прямую $\{\Pi_1=0,\ \Pi_2=0\}$:
$$\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,\qquad \alpha^2+\beta^2\ne0.$$
Удобно, когда нужна плоскость «через линию пересечения … и ещё одно условие»: одно условие определяет отношение $\alpha:\beta$.

Биссекторные плоскости двугранных углов — точки, равноудалённые от двух плоскостей:
$$\frac{A_1x+B_1y+C_1z+D_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}}=\pm\frac{A_2x+B_2y+C_2z+D_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$$

Острый или тупой угол. Точка $M$ лежит в остром двугранном угле $\iff f_1(M)\,f_2(M)\,(\vec n_1\cdot\vec n_2)<0$. Биссектор острого угла: знак «$+$», если $\vec n_1\cdot\vec n_2<0$, и знак «$-$», если $\vec n_1\cdot\vec n_2>0$.

Типичные ошибки

• Считать расстояние между параллельными плоскостями по $|D_1-D_2|$, не приведя коэффициенты при $x,y,z$ к одинаковым (задача 438).
• Забыть модуль в формуле расстояния или в косинусе угла между плоскостями.
• В нормальном уравнении взять знак нормирующего множителя как у $D$: тогда $p$ выйдет отрицательным. Знак $\mu$ противоположен знаку $D$.
• Написать $\frac{A_1}{A_2}=\dots$ при $A_2=0$ и «делить на ноль»: пропорция означает $\vec n_1=\lambda\vec n_2$.
• В биссекторах не нормировать: делить нужно на длины нормалей.