Список вопросов РК

Часть А. Базовые вопросы и определения (1–30)

1. 1.(1 балл) Определение равенства геометрических векторов
2. 2.(1 балл) Определение суммы векторов и умножения вектора на число
3. 3.(1 балл) Определение коллинеарных и компланарных векторов
4. 4.(1 балл) Определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов
5. 5.(1 балл) Геометрические критерии линейной зависимости 2-х и 3-х векторов
6. 6.(1 балл) Определение базиса и координат вектора
7. 7.(1 балл) Сформулировать теорему о разложении вектора по базису
8. 8.(1 балл) Определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление
9. 9.(1 балл) Определение скалярного произведения векторов
10. 10.(1 балл) Свойство линейности скалярного произведения
11. 11.(1 балл) Вычисление скалярного произведения в ОНБ
12. 12.(1 балл) Косинус угла между векторами в ОНБ
13. 13.(1 балл) Определение правой и левой тройки векторов
14. 14.(1 балл) Определение векторного произведения векторов
15. 15.(1 балл) Симметричность скалярного и антисимметричность векторного произведения
16. 16.(1 балл) Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов
17. 17.(1 балл) Записать формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе
18. 18.(1 балл) Определение смешанного произведения векторов
19. 19.(1 балл) Правило перестановок смешанного произведения
20. 20.(1 балл) Свойство линейности смешанного произведения
21. 21.(1 балл) Записать формулу для вычисления смешанного произведения в правом ортонормированном базисе
22. 22.(1 балл) Записать общее уравнение плоскости и уравнение «в отрезках». Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров
23. 23.(1 балл) Уравнение плоскости через три точки
24. 24.(1 балл) Записать условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
25. 25.(1 балл) Записать формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением
26. 26.(1 балл) Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров
27. 27.(1 балл) Уравнение прямой через две точки
28. 28.(1 балл) Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
29. 29.(1 балл) Расстояние от точки M₁ до прямой L(M₀, s)
30. 30.(1 балл) Расстояние между скрещивающимися прямыми L₁(M₁, s₁) и L₂(M₂, s₂)

Часть Б. Доказательства и выводы (1–10)

1. 1.(2 балла) Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов
2. 2.(2 балла) Теорема о разложении вектора по базису
3. 3.(2 балла) Доказательство линейности скалярного произведения
4. 4.(2 балла) Вывод скалярного произведения в ОНБ
5. 5.(2 балла) Вывести формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе
6. 6.(2 балла) Доказательство линейности смешанного произведения
7. 7.(2 балла) Вывод смешанного произведения в правом ОНБ
8. 8.(2 балла) Вывести формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением
9. 9.(2 балла) Вывести формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве
10. 10.(2 балла) Вывод расстояния между скрещивающимися прямыми

Часть В. Аксиоматика, тождества и аффинные подпространства

1. 1.Аксиомы векторного (линейного) пространства V(ℝ)
2. 2.Аксиомы скалярного произведения и нормы
3. 3.Двойное векторное произведение и тождества
4. 4.Аффинное пространство и аффинное подпространство
5. 5.Геометрические примеры аффинных подпространств

Часть Г. Дополнения из рукописных лекций

1. 1.Аффинная и прямоугольная системы координат. Координаты точки
2. 2.Деление отрезка в данном отношении
3. 3.Направляющие косинусы вектора и орт
4. 4.Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компланарности
5. 5.Общее уравнение прямой на плоскости. Нормальный и направляющий векторы
6. 6.Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, в отрезках, через две точки
7. 7.Нормальное уравнение прямой на плоскости. Нормирующий множитель
8. 8.Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод)
9. 9.Взаимное расположение и угол между прямыми на плоскости
10. 10.Нормальное уравнение плоскости
11. 11.Расстояние между параллельными плоскостями
12. 12.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Задачи из слитых билетов (номер: билет.задача)

1. 3.1.(4 балла) В параллелограмме $ABCD$ точка $M$ делит диагональ $BD$ в отношении $1:3$, а точка $N$ делит сторону $CD$ пополам. Найти разложение вектора $\overrightarrow{MN}$ по векторам $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и $\vec b=\overrightarrow{AD}$.
2. 3.2.(4 балла) Объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a,\vec b,\vec c$, равен $3$. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах $-\vec a+\vec b+\vec c$, $\vec a-\vec b+\vec c$, $\vec a+\vec b-\vec c$.
3. 3.3.(4 балла) Найти точки пересечения плоскости $2x-5y-z+10=0$ с осями координат и задать эту плоскость уравнением «в отрезках».
4. 3.4.(4 балла) Найти проекцию $Q$ точки $P(5;1;2)$ на плоскость $2x-2y-z=-3$.
5. 3.5.(4 балла) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку $M(1;0;0)$ параллельно оси $Oz$.
6. 3.6.(6 баллов) Объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a,\vec b,\vec c$, равен $V=6$. Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec a,\vec b$, равна $S=2$. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a+\vec b$, $4\vec a-2\vec b$, $-\vec a-\vec b+3\vec c$, которая опущена из конца третьего вектора на грань, построенную на первых двух.
7. 3.7.(6 баллов) Найти точку $Q$, симметричную точке $P(-4;1;2)$ относительно прямой $\dfrac x1=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-3}0$.
8. 7.1.(4 балла) Разложить вектор $\vec c=\{-10;3\}$ по векторам $\vec a=\{3;-1\}$ и $\vec b=\{7;-2\}$.
9. 7.2.(4 балла) Найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки $A(0;1;-1)$, $B(0;1;0)$, $C(0;2;-3)$.
10. 7.3.(4 балла) Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(2;0;-3)$ и перпендикулярна прямой $\dfrac x2=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{-2}$.
11. 7.4.(4 балла) Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через прямую $\dfrac x3=\dfrac y3=\dfrac{z-1}2$ и перпендикулярна плоскости $2x+2y+3z=7$.
12. 7.5.(4 балла) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $M(0;1;0)$ перпендикулярно плоскости $x+z=0$.
13. 7.6.(6 баллов) Объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a,\vec b,\vec c$, равен $5$. Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec a,\vec b$, равна $10$. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a+4\vec b$, $2\vec a+3\vec b$, $\vec a+\vec b-2\vec c$, опущенную из конца третьего вектора на грань, построенную на первых двух.
14. 7.7.(6 баллов) Составить канонические уравнения прямой, симметричной прямой $x=2+t,\ y=-1,\ z=3-3t$ относительно плоскости $x+z-3=0$.
15. 9.1.(4 балла) Найти точку пересечения прямых $3x-5y-13=0$ и $2x+7y-81=0$.
16. 9.2.(4 балла) Найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки $A(1;-2;3)$, $B(4;2;2)$, $C(3;0;2)$.
17. 9.3.(4 балла) Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(3;2;1)$ параллельно плоскости $x+y-z+1=0$.
18. 9.4.(4 балла) Найти расстояние от точки $M(9;0;5)$ до прямой $\dfrac{x-4}3=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z+4}0$.
19. 9.5.(4 балла) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $M(3;3;3)$ перпендикулярно плоскости $z=1$.
20. 9.6.(6 баллов) Параллелограмм построен на векторах $\vec m=13\vec a-2\vec b$ и $\vec n=-3\vec a+\vec b$, где $|\vec a|=|\vec b|=1$ и угол между $\vec a$ и $\vec b$ равен $60^\circ$. Найти высоту параллелограмма, опущенную из конца вектора $\vec n$ на вектор $\vec m$.
21. 9.7.(6 баллов) Показать, что прямые $\dfrac{x-1}0=\dfrac{y-1}1=\dfrac{z-1}1$ и $\dfrac x{-1}=\dfrac{y-3}3=\dfrac z0$ пересекаются. Найти точку пересечения и составить уравнение плоскости, которой они принадлежат.
22. 11.1.(4 балла) Даны точки $A(1;1;2)$ и $B(-4;6;12)$. Найти точку $C$, которая делит отрезок $AB$ в отношении $2:3$.
23. 11.2.(4 балла) Найти все значения $\lambda$, при которых точки $A(2;1;3)$, $B(3;-2;2)$, $C(2;2;3)$, $D(1;0;\lambda)$ лежат в одной плоскости.
24. 11.3.(4 балла) Найти расстояние от точки $M(-2;-3;3)$ до плоскости $9x-4y+z+17=0$.
25. 11.4.(4 балла) Для прямой $x-y-z-2=0,\ x-3y+3z-2=0$ найти параметрические уравнения.
26. 11.5.(4 балла) Найти угол между прямыми $x=2+3t,\ y=t,\ z=-t$ и $x=2+t,\ y=3t,\ z=t$.
27. 11.6.(6 баллов) Объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a,\vec b,\vec c$, равен $V=4$. Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec a,\vec b$, равна $S=2$. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a+3\vec b$, $\vec a-4\vec b$, $2\vec a-3\vec b+4\vec c$, которая опущена из конца третьего вектора на грань, построенную на первых двух.
28. 11.7.(6 баллов) Показать, что прямые $\dfrac{x-4}1=\dfrac y{-3}=\dfrac{z-10}7$ и $\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y-13}5=\dfrac{z+19}{-11}$ пересекаются. Найти точку пересечения и составить уравнение плоскости, которой они принадлежат.
29. 16.1.(4 балла) Даны точки $A(-2;0;-3)$ и $B(6;8;9)$. Найти точку $C$, которая делит отрезок $AB$ в отношении $1:3$.
30. 16.2.(4 балла) Найти объём тетраэдра с вершинами $A(2;2;3)$, $B(2;-1;3)$, $C(3;1;2)$, $D(2;3;1)$.
31. 16.3.(4 балла) Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки $A(1;1;2)$, $B(7;-2;2)$, $C(-1;5;6)$.
32. 16.4.(4 балла) Найти точку пересечения плоскости $x+y+z=0$ с прямой, проходящей через точки $A(-6;-9;-1)$ и $B(8;5;3)$.
33. 16.5.(4 балла) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $M(2;1;-1)$ перпендикулярно плоскости $2x+y+z-5=0$.
34. 16.6.(6 баллов) Вершинами тетраэдра служат точки $A(-1;2;2)$, $B(0;1;2)$, $C(-1;4;2)$, $D(0;1;0)$. Найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины $D$ на грань $ABC$.
35. 16.7.(6 баллов) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $(-2;1;4)$ и пересекающей прямые $\dfrac{x-1}1=\dfrac{y-1}0=\dfrac{z-1}1$ и $\dfrac x1=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}2$.
36. 17.1.(4 балла) Найти точку пересечения прямых $-4x+y-3=0$ и $-5x+y-4=0$.
37. 17.2.(4 балла) Найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки $A(0;0;7)$, $B(2;3;5)$, $C(6;4;3)$.
38. 17.3.(4 балла) Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(3;-3;4)$ параллельно плоскости $-3x-2y+2z-1=0$.
39. 17.4.(4 балла) Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через прямую $\dfrac{x-1}1=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-3}2$ и перпендикулярна плоскости $2x+y-z-1=0$.
40. 17.5.(4 балла) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку $M(3;0;-1)$ параллельно оси $Oy$.
41. 17.6.(6 баллов) Треугольная пирамида $ABCD$ имеет объём $9$, вершины $A(2;-1;-1)$, $B(-1;2;-1)$, $C(-1;-1;2)$, а о вершине $D$ известно, что она лежит на положительной части оси $OX$. Найти координаты вершины $D$.
42. 17.7.(6 баллов) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $(4;2;-3)$ и пересекающей прямые $\dfrac{x-2}1=\dfrac y{-1}=\dfrac{z-1}0$ и $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}1$.
43. 18.1.(4 балла) В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ относятся как $2:1$, точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $2:3$, а точка $N$ — середина стороны $CD$. Найти разложение вектора $\overrightarrow{MN}$ по векторам $\vec a=\overrightarrow{AD}$ и $\vec b=\overrightarrow{AB}$.
44. 18.2.(4 балла) Найти все значения $\lambda$, при которых точки $A(1;-3;4)$, $B(3;1;-2)$, $C(-8;5;5)$, $D(-1;-2;\lambda)$ лежат в одной плоскости.
45. 18.3.(4 балла) Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1;2;3)$ параллельно плоскости $x-y-z+1=0$.
46. 18.4.(4 балла) Найти расстояние от точки $M(5;-1;-2)$ до прямой $\dfrac{x-2}1=\dfrac{y+1}0=\dfrac{z-1}0$.
47. 18.5.(4 балла) Найти угол между плоскостями $x-y+12=0$ и $-2x+2z-1=0$.
48. 18.6.(6 баллов) Параллелограмм построен на векторах $\vec m=15\vec a+11\vec b$ и $\vec n=\vec a+2\vec b$, где $|\vec a|=1$, $|\vec b|=\sqrt3$ и угол между $\vec a$ и $\vec b$ равен $30^\circ$. Найти высоту параллелограмма, опущенную из конца вектора $\vec n$ на вектор $\vec m$.
49. 18.7.(6 баллов) Найти точку $Q$, симметричную точке $P(3;2;-1)$ относительно прямой $\dfrac{x-2}1=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}1$.

Задачник: задачи 416–466

1. 416.Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $(2,3,-1)$ и перпендикулярна вектору $(1,-3,-1)$.
2. 417.Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $(1,1,1)$ и перпендикулярна прямой $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-3}{-2}$.
3. 418.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_1,y_1,z_1)$ и перпендикулярной к прямой $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$.
4. 419.Найти уравнение плоскости, перпендикулярной прямой $x+2y-z+5=0,\ 3x+y+z-7=0$ и проходящей через точку $(2,-3,1)$.
5. 420.Найти уравнение плоскости, которая перпендикулярна плоскостям $2x+y-z+7=0$ и $x-3y+z-1=0$ и проходит через точку $(-1,1,0)$.
6. 421.Задать параметрически плоскость, проходящую через точку $(2,-1,1)$ и перпендикулярную прямой $x-2y+z+3=0,\ 2x+3y-z+8=0$.
7. 422.Найти уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости $4x+2y-z+8=0$ и проходящей через точки $(0,1,-2)$ и $(2,-1,1)$.
8. 423.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки $A(1,0,3)$ и $B(2,-1,4)$ перпендикулярно плоскости $x=2u+4v,\ y=6v,\ z=3-u-v$.
9. 424.В пучке, заданном плоскостями $3x-y+z-2=0$ и $x+y-6z-1=0$, найти те плоскости, которые перпендикулярны данным.
10. 425.Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки $(1,-7,2)$ на оси координат $Ox$ и $Oy$.
11. 426.Написать параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки $(x_0,y_0,z_0)$ на плоскость $Ax+By+Cz+D=0$.
12. 427.Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $P(1,-1,2)$ на прямую $\ell:\ \dfrac x2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z+1}{-1}$, и расстояние от точки $P$ до прямой $\ell$.
13. 428.Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $(x_1,y_1,z_1)$ на прямую $\dfrac{x-x_0}a=\dfrac{y-y_0}b=\dfrac{z-z_0}c$.
14. 429.Найти расстояние от точки $(1,3,5)$ до прямой $2x+y+z-1=0,\ 3x+y+2z-3=0$.
15. 430.Найти расстояние от точки $(1,-1,0)$ до прямой $x=2+t,\ y=-1-t,\ z=2t$.
16. 431.Найти точку, симметричную точке $(1,3,-4)$ относительно плоскости $3x+y-2z=0$.
17. 432.Найти точку, симметричную точке $(1,2,3)$ относительно прямой $\dfrac{x-8}1=\dfrac{y-11}3=\dfrac{z-4}{-1}$.
18. 433.На оси $Oz$ найти точку, равноудалённую от точки $M(1,-2,0)$ и плоскости $3x-2y+6z-9=0$.
19. 434.На плоскости $5x-3y+7z+10=0$ найти такую точку, что сумма расстояний от неё до точек $(7,-1,5)$ и $(29,3,-9)$ будет наименьшей.
20. 435.Даны вершины тетраэдра $P(1,0,0)$, $Q(1,0,2)$, $R(1,1,1)$, $S(3,0,0)$. Вычислить длину высоты, опущенной из вершины $P$ на плоскость грани $QRS$.
21. 436.Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости $x+3y-z+17=0$ и отстоящей от точки $(2,-1,1)$ на расстоянии $\sqrt{11}$.
22. 437.Найти расстояние от точки $(1,2,2)$ до плоскости, заданной параметрическими уравнениями $x=2+3s+4t,\ y=5+6s+7t,\ z=8+9s+10t$.
23. 438.Найти расстояние между плоскостями $2x-4y-2z-1=0$ и $3x-6y-3z+1=0$.
24. 439.Найти расстояние между плоскостями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$.
25. 440.Найти угол между плоскостями $3x+4y-5z+1=0$ и $x+2y+2z-18=0$.
26. 441.Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между плоскостями: 1) $7x+y-6=0$, $3x+5y-4z+1=0$; 2) $x-2y+2z+3=0$, $4x+y-8z-1=0$.
27. 442.Даны плоскости $\Pi_1:\ 4x+y-8z-1=0$ и $\Pi_2:\ x-2y+2z+3=0$. Найти уравнение такой плоскости $\Pi_3$, что $\Pi_2$ делит пополам двугранный угол между $\Pi_1$ и $\Pi_3$.
28. 443.Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы точка $(x_0,y_0,z_0)$ лежала в остром угле, образуемом двумя пересекающимися и не взаимно перпендикулярными плоскостями $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$, $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$.
29. 444.В каком угле между плоскостями $7x+3y+z=0$, $3x+3y+z+2=0$ (остром или тупом) лежит точка $(1,-1,1)$?
30. 445.Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $x-y-z-1=0$ и $2x+10y-2z-5=0$ и делящей острый угол между ними пополам.
31. 446.Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $5x-2y+2z-4=0$ и $8x+2y-8z+3=0$ и делящей пополам тот угол между ними, в котором находится точка $(-1,-1,-1)$.
32. 447.Написать уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла, образованного плоскостью $2x-3y+6z-6=0$ с плоскостью $Oyz$.
33. 448.Внутри треугольника, высекаемого на плоскости $Oxy$ плоскостями $x+4y+8z+8=0$, $x-2y+2z+2=0$, $3x+4y+12=0$, найти точку, равноудалённую от этих плоскостей.
34. 449.Найти центр и радиус сферы, вписанной в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью $11x-10y-2z-57=0$.
35. 450.Даны четыре плоскости, образующие тетраэдр. Сколько существует сфер, их касающихся?
36. 451.Найти угол между прямыми $\dfrac x1=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{-1}$ и $\dfrac{x-1}1=\dfrac y1=\dfrac{z+1}1$.
37. 452.Проверить, что две прямые $x=1+2t,\ y=2t,\ z=t$ и $x=11+8t,\ y=6+4t,\ z=2+t$ пересекаются, и написать уравнения биссектрисы тупого угла между ними.
38. 453.Найти угол между плоскостью $Oxy$ и прямой $\dfrac{x-1}0=\dfrac y1=\dfrac{z-2}1$.
39. 454.Через ось $Oz$ провести плоскость, образующую с плоскостью $2x+y-\sqrt5z-7=0$ угол $\pi/3$.
40. 455.Оси координат служат диагоналями правильного октаэдра, рёбра которого равны $a\sqrt2$. Найти: 1) уравнения граней октаэдра; 2) двугранные углы; 3) центр и радиус вписанного шара.
41. 456.В пучке, определённом плоскостями $x+z-1=0$ и $x+y-z+2=0$, найти плоскость, образующую угол $\arccos(1/\sqrt{10})$ с плоскостью $y+z+6=0$.
42. 457.Через прямую $\dfrac x1=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{0}$ провести такую плоскость, чтобы острый угол между линиями её пересечения с плоскостями $Oxz$ и $Oyz$ был равен $\pi/3$.
43. 458.Известно, что плоскости $A_kx+B_ky+C_kz+D_k=0$, $k=1,2,3$, образуют призму. Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы все три её внутренних двугранных угла были острыми.
44. 459.Доказать, что три плоскости $x-2y+2z=0$, $2x-y-2z+2=0$, $5x+2y-14z+14=0$ образуют призму. Найти: величину $\gamma$ внутреннего двугранного угла этой призмы, образованного первой и второй плоскостями; ось $\ell$ и радиус $r$ вписанного в призму цилиндра.
45. 460.Составить уравнения ортогональной проекции прямой $\dfrac{x-1}3=\dfrac{y+1}2=\dfrac{z-2}1$ на плоскость $5x+6y-2z+1=0$.
46. 461.Составить уравнения общего перпендикуляра к двум прямым $\dfrac x1=\dfrac{y+4}3=\dfrac z2$ и $\dfrac{x-3}2=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z+3}{-2}$.
47. 462.Составить уравнения общего перпендикуляра к двум прямым $\dfrac{x-1}8=\dfrac{y-2}4=\dfrac{z-3}1$ и $\begin{cases}x+y=1,\\x+2y+2z=-1\end{cases}$, найти расстояние $d$ между этими прямыми и точки пересечения общего перпендикуляра с ними.
48. 463.Даны две прямые: $x-y+z+1=0,\ 2x+3y-z+2=0$ и $x=0,\ x+2y-z+1=0$. Найти расстояние между ними и составить уравнения общего перпендикуляра.
49. 464.Найти расстояние между прямыми: 1) $x+y-1=0,\ z=0$ и $x=1-t,\ y=-2+t,\ z=-1+3t$; 2) $\dfrac{x-1}1=\dfrac{y-2}2=\dfrac z3$ и $x+y-z+1=0,\ 2x-y+3=0$.
50. 465.К непересекающимся диагоналям граней куба, имеющих общее ребро, провести общий перпендикуляр. В каком отношении точки пересечения диагоналей с их общим перпендикуляром делят эти диагонали?
51. 466.Найти расстояние между диагональю куба и не пересекающей её диагональю грани, если ребро куба равно $1$.