Теорема. Три вектора ЛЗ $\iff$ они компланарны.

⇒ Пусть $\lambda_1\vec a+\lambda_2\vec b+\lambda_3\vec c=\vec 0$ , $\lambda_1\ne0$ . Тогда $\vec a=\beta\vec b+\gamma\vec c$ , где $\beta=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ , $\gamma=-\frac{\lambda_3}{\lambda_1}$ . Отложим $\vec b,\vec c$ из точки $O$ : $\beta\vec b$ и $\gamma\vec c$ лежат в плоскости $\vec b,\vec c$ , их сумма $\vec a$ (правило параллелограмма) — тоже. Векторы компланарны.

⇐ Если среди векторов есть нулевой или два коллинеарных — ЛЗ очевидна (нулевой с коэффициентом $1$ ; коллинеарные ЛЗ по критерию для двух векторов). Пусть $\vec a\nparallel\vec b$ . Отложим $\overrightarrow{OA}=\vec a$ , $\overrightarrow{OB}=\vec b$ , $\overrightarrow{OC}=\vec c$ в одной плоскости. Через $C$ проведём прямые, параллельные $OA$ и $OB$ ; получим параллелограмм $OA'CB'$ :
$\vec c=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}=\alpha\vec a+\beta\vec b\ \Rightarrow\ \alpha\vec a+\beta\vec b-1\cdot\vec c=\vec 0.$
Коэффициент $-1\ne0$ — комбинация нетривиальна, векторы ЛЗ. $\blacksquare$

Подробно — «Линейная зависимость, геометрические критерии».

Материалы