3. Базис, координаты, системы координат

лекции: §3, §7 · вопросы РК: А6, А7, Б2, Г1, Г2

Прочитано

РК: А6 (базис и координаты), А7 (теорема о разложении), Б2 (её доказательство); дополнения из лекций: Г1 (системы координат), Г2 (деление отрезка).

Суть

Базис — минимальный набор векторов, через который однозначно выражается любой вектор. Коэффициенты этого выражения и есть координаты: они превращают геометрию в арифметику. Существование разложения даёт «максимальность», единственность — «линейная независимость».

Определения (А6)

Пространства $V_1,V_2,V_3$ (лекции, опр. 3.1): $V_1$ — множество всех свободных векторов, коллинеарных между собой (векторы одной прямой); $V_2$ — множество всех свободных векторов, компланарных между собой (векторы одной плоскости); $V_3$ — множество всех свободных векторов (пространство).

Базис в пространстве $V_n$ ( $n=1,2,3$ ) — упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов:

$V_1$ (прямая): любой ненулевой вектор;
$V_2$ (плоскость): любые два неколлинеарных вектора;
$V_3$ (пространство): любые три некомпланарных вектора.

«Максимальная» значит: добавление любого вектора делает систему ЛЗ.

Координаты вектора $\vec x$ в базисе $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ — коэффициенты $x_1,\dots,x_n$ его (единственного) разложения
$\vec x=x_1\vec e_1+\dots+x_n\vec e_n.$
Запись: $\vec x=\{x_1,x_2,x_3\}$ . Порядок векторов базиса важен: переставив их, получим другой базис и переставленные координаты.

Ортогональный базис — векторы базиса попарно ортогональны. Ортонормированный (ОНБ) $(\vec i,\vec j,\vec k)$ — ортогональный, и каждый вектор единичный. Координаты в ОНБ — это проекции вектора на оси: $x_1=\operatorname{Пр}_{\vec i}\vec x$ и т. д. (тема 4).

Теорема о разложении (А7)

Любой вектор пространства раскладывается по базису, и притом единственным образом: если $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ — базис, то для любого $\vec x$ существует единственный набор $(x_1,\dots,x_n)$ такой, что $\vec x=\sum x_i\vec e_i$ .

Выводы из теоремы (лекции): 1) базисов в пространстве бесконечно много, но число векторов во всех базисах одно и то же; 2) один и тот же вектор в разных базисах имеет разные координаты.

Доказательство для V₃ (Б2)

Существование. Система $\{\vec x,\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\}$ из четырёх векторов в $V_3$ линейно зависима (следствие критерия компланарности, тема 2): найдётся нетривиальный набор
$\alpha_0\vec x+\alpha_1\vec e_1+\alpha_2\vec e_2+\alpha_3\vec e_3=\vec 0.$
Здесь $\alpha_0\ne0$ : иначе $\alpha_1\vec e_1+\alpha_2\vec e_2+\alpha_3\vec e_3=\vec 0$ с не всеми нулевыми $\alpha_i$ , то есть базис ЛЗ, что противоречит определению. Делим на $\alpha_0$ :
$\vec x=-\frac{\alpha_1}{\alpha_0}\vec e_1-\frac{\alpha_2}{\alpha_0}\vec e_2-\frac{\alpha_3}{\alpha_0}\vec e_3=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3.$

Единственность. Пусть $\vec x=\sum x_i\vec e_i=\sum y_i\vec e_i$ . Вычитаем:
$\vec 0=(x_1-y_1)\vec e_1+(x_2-y_2)\vec e_2+(x_3-y_3)\vec e_3.$
Базис ЛНЗ, поэтому все коэффициенты нулевые: $x_i=y_i$ . $\blacksquare$

Фраза «в $V_3$ любые 4 вектора ЛЗ» используется как известная, без ссылки. Это следствие теоремы о компланарности: если первые три вектора ЛЗ, то и четвёрка ЛЗ; если они некомпланарны, четвёртый раскладывается по ним построением параллелепипеда. На РК достаточно сказать «по следствию из критерия компланарности».

Действия в координатах

Из единственности разложения и свойств линейных операций (лекции, «свойства координат вектора»):
$\vec a\pm\vec b=\{a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2,\ a_3\pm b_3\},\qquad \lambda\vec a=\{\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3\}.$
Векторы равны $\iff$ равны их координаты; векторы коллинеарны $\iff$ координаты пропорциональны.

Системы координат и простейшие задачи (лекции, §7)

Аффинная система координат (опр. 7.1) — совокупность точки $O$ (начала координат) и базиса: $O\vec e_1\vec e_2\vec e_3$ в пространстве, $O\vec e_1\vec e_2$ на плоскости.
Прямоугольная система координат (опр. 7.2) — точка и ортонормированный базис: $O\vec i\vec j\vec k$ .
Координаты точки $M$ (опр. 7.3) — координаты её радиус-вектора $\overrightarrow{OM}$ в заданном базисе:
$\overrightarrow{OM}=x_0\vec e_1+y_0\vec e_2+z_0\vec e_3\iff M(x_0,y_0,z_0).$

Задача 1. Координаты вектора по двум точкам (в любой аффинной СК):
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\{x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A\}.$

Задача 2. Длина отрезка (только в прямоугольной СК — нужна формула скалярного произведения в ОНБ):
$|AB|=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.$

Задача 3. Деление отрезка в данном отношении. Точка $M$ делит отрезок $M_1M_2$ в отношении $p:q$ , то есть $\dfrac{|M_1M|}{|MM_2|}=\dfrac pq$ . Тогда
$x=\frac{qx_1+px_2}{p+q},\qquad y=\frac{qy_1+py_2}{p+q},\qquad z=\frac{qz_1+pz_2}{p+q}.$
Частный случай $p=q$ — середина отрезка: $M=\left(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2,\frac{z_1+z_2}2\right)$ ; понадобится для симметричной точки.

Вывод

Векторы $\overrightarrow{M_1M}=\{x-x_1,\ y-y_1,\ z-z_1\}$ и $\overrightarrow{MM_2}=\{x_2-x,\ y_2-y,\ z_2-z\}$ сонаправлены, их длины относятся как $p:q$ , поэтому
$q\,\overrightarrow{M_1M}=p\,\overrightarrow{MM_2}.$
По координатам: $q(x-x_1)=p(x_2-x)$ , откуда $x(p+q)=qx_1+px_2$ . Для $y$ и $z$ так же. $\blacksquare$

Пример (билет 11, задача 1). $A(1;1;2)$ , $B(-4;6;12)$ ; найти точку $C$ , которая делит $AB$ в отношении $2:3$ .

Решение

$p=2$ , $q=3$ : $\ x=\frac{3\cdot1+2\cdot(-4)}5=-1$ , $\ y=\frac{3\cdot1+2\cdot6}5=3$ , $\ z=\frac{3\cdot2+2\cdot12}5=6$ .
Ответ: $C(-1;3;6)$ .

Пример. Разложить $\vec x=\{3,1,4\}$ по базису $\vec e_1=\{1,0,1\}$ , $\vec e_2=\{0,1,1\}$ , $\vec e_3=\{1,1,0\}$ .

Решение

$\vec x=\alpha\vec e_1+\beta\vec e_2+\gamma\vec e_3$ :
$\alpha+\gamma=3,\ \beta+\gamma=1,\ \alpha+\beta=4$ . Сложив: $2(\alpha+\beta+\gamma)=8$ , сумма $=4$ . Тогда $\beta=1$ , $\alpha=3$ , $\gamma=0$ .
Ответ: $\vec x=3\vec e_1+\vec e_2$ , координаты $\{3,1,0\}$ .

Типичные ошибки

Называть базисом любые три вектора пространства: нужны некомпланарные.
В доказательстве существования не объяснить, почему $\alpha_0\ne0$ . Это главный момент.
Говорить «координаты вектора» без указания базиса: в другом базисе они другие.
Считать длину по формуле $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ в косоугольной (аффинной) СК: формула верна только в прямоугольной.
Перепутать в делении отрезка, при какой точке стоит $q$ : у $M_1$ множитель $q$ (дальний отрезок), у $M_2$ — $p$ .

Прочитано